Considere a função
f(x, y)=cc x^3 y-x y^3x^2+y^2, & se (x, y) neq(0,0) 0, & se (x, y)=(0,0)
(a) Determine as derivadas parciais de f. Observação. Note que você pode usar as regras de derivação para calcular as derivadas parciais em qualquer ponto diferente de (0,0). Por outro lado, no ponto (0,0), como a função é descrita em duas sentenças, você precisa recorrer à definição por limite para calcular.

Passo 1

A questão pede para encontrar as derivadas parciais de uma função definida por partes, usando regras de derivação (produto e quociente) para qualquer ponto (x,y)≠(0,0) e, no ponto (0,0), usando a definição por limite. O conteúdo é cálculo de derivadas parciais de funções de duas variáveis.

Passo 2

Para (x,y)≠(0,0), definimos o numerador e denominador: N(x,y)=x³y−xy³ e D(x,y)=x²+y². Pela regra do quociente, temos ∂N/∂x=3x²y−y³ e ∂D/∂x=2x. Logo,
partial fpartial x(x,y)=(3x^2y - y^3)(x^2+y^2) - 2x,(x^3y - x y^3)(x^2+y^2)^2

Passo 3

Agora simplificamos o numerador:
(3x^2y - y^3)(x^2+y^2) - 2x(x^3y - x y^3) = x^4y + 4x^2y^3 - y^5

Passo 4

Portanto, para (x,y)≠(0,0),
partial fpartial x(x,y)=y,(x^4+4x^2y^2-y^4)(x^2+y^2)^2

Passo 5

De modo análogo, para ∂f/∂y usamos ∂N/∂y=x³−3xy² e ∂D/∂y=2y, obtendo
partial fpartial y(x,y)=(x^3-3xy^2)(x^2+y^2) - 2y,(x^3y - x y^3)(x^2+y^2)^2

Passo 6

Simplificando o numerador:
(x^3-3xy^2)(x^2+y^2) - 2y(x^3y - x y^3) = x^5 -4x^3y^2 - x y^4,

Passo 7

logo para (x,y)≠(0,0),
partial fpartial y(x,y)=x,(x^4-4x^2y^2-y^4)(x^2+y^2)^2

Passo 8

No ponto (0,0) usamos definição:
partial fpartial x(0,0)=limhto0f(h,0)-f(0,0)h=limhto00h=0,
partial fpartial y(0,0)=limkto0f(0,k)-f(0,0)k=limkto00k=0

Resposta

As derivadas parciais são
partial fpartial x(x,y)= y,(x^4+4x^2y^2-y^4)(x^2+y^2)^2, & (x,y)neq(0,0), 0, & (x,y)=(0,0),
partial fpartial y(x,y)= x,(x^4-4x^2y^2-y^4)(x^2+y^2)^2, & (x,y)neq(0,0), 0, & (x,y)=(0,0)

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