Considere a função
(a) Determine as derivadas parciais de
. Observação. Note que você pode usar as regras de derivação para calcular as derivadas parciais em qualquer ponto diferente de
. Por outro lado, no ponto
, como a função é descrita em duas sentenças, você precisa recorrer à definição por limite para calcular.
Passo 1
A questão pede para encontrar as derivadas parciais de uma função definida por partes, usando regras de derivação (produto e quociente) para qualquer ponto (x,y)≠(0,0) e, no ponto (0,0), usando a definição por limite. O conteúdo é cálculo de derivadas parciais de funções de duas variáveis.
Passo 2
Para (x,y)≠(0,0), definimos o numerador e denominador: N(x,y)=x³y−xy³ e D(x,y)=x²+y². Pela regra do quociente, temos ∂N/∂x=3x²y−y³ e ∂D/∂x=2x. Logo,
Passo 3
Agora simplificamos o numerador:
Passo 4
Portanto, para (x,y)≠(0,0),
Passo 5
De modo análogo, para ∂f/∂y usamos ∂N/∂y=x³−3xy² e ∂D/∂y=2y, obtendo
Passo 6
Simplificando o numerador:
Passo 7
logo para (x,y)≠(0,0),
Passo 8
No ponto (0,0) usamos definição:
Resposta
As derivadas parciais são