A barra indica que os algarismos se repetem indefinidamente. Expresse a decimal periódica como uma série e ache o número racional que ela representa.
2,7 828

Passo 1

Temos a decimal periódica 2,7828. O objetivo é escrever isso como uma série geométrica e depois encontrar a fração que ela representa. Vamos usar teoria de séries geométricas para dízimas periódicas.

Passo 2

Seja x = 2,7828. Podemos separar a parte não periódica ( 2,7) e a periódica. Como o repetido 828 começa logo após a primeira casa decimal, escrevemos: x = 2,7 + 082810

Passo 3

Agora escrevemos 0828 como série geométrica. Cada bloco 828 ocupa 3 dígitos após a vírgula, então
0828 = 82810^3 + 82810^6 + 82810^9 + cdots = sumk=1^infty 828cdot 10^-3k

Passo 4

Substituindo em x obtemos
x = 2,7 + 110sumk=1^infty 828cdot 10^-3k = 2,7 + sumk=1^infty 828cdot 10^-(3k+1)

Passo 5

Para somar 0828 usamos a fórmula da soma de série geométrica com primeiro termo a=828/10^3 e razão r=10^-3:
0828 = 828/10^31 - 10^-3 = 828/10001 - 1/1000 = 828999

Passo 6

Logo
x = 2,7 + 110cdot 828999 = 2710 + 8289990 = 27cdot999 + 8289990 = 278019990

Passo 7

Bastou simplificar dividindo numerador e denominador por 9: 278019990 = 30891110

Resposta

\displaystyle \frac{3089}{1110}

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