Considere a função f(x, y)=x^{3}-a x^{2} y-x^{2}+4 y^{2}, \operatorname{com} \mathrm{a} \in \mathbb{R} \backslash\{0\}. Determine o valor de a, para que os seguintes pontos P_{1}\left(1, \frac{1}{4}\right), P_{2}(0,0) e P_{3}(2,1) sejam pontos críticos da função, classifique a natureza de cada ponto crítico ( máximo local, mínimo local ou ponto de sela) e justifique suas conclusōes utilizando o discriminante da matriz hessiana.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x,y)=x^{3}-a x^{2}y-x^{2}+4y^{2},\qquad a\in\mathbb{R}\setminus\{0\},
e pede duas coisas:
  • Determinar o(s) valor(es) de a para que cada um dos pontos P_{1}\bigl(1,\tfrac{1}{4}\bigr), P_{2}(0,0) e P_{3}(2,1) seja(m) ponto(s) crítico(s) de f.
  • Para cada ponto crítico (com o a correspondente), classificar a natureza do ponto: máximo local, mínimo local ou ponto de sela, justificando com o discriminante da matriz Hessiana.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função explícita f(x,y) (peguei isso do enunciado).
  • Os pontos candidatos: P_{1}\bigl(1,\tfrac{1}{4}\bigr), P_{2}(0,0), P_{3}(2,1).
  • O parâmetro a é real e não pode ser zero segundo o enunciado.

Passo 2

Conceito e procedimento para achar pontos críticos (aulas rápidas e úteis).
  • Um ponto (x_0,y_0) é ponto crítico de f se o gradiente de f se anula ali, isto é:
\nabla f(x_0,y_0)=\bigl(f_x(x_0,y_0),\,f_y(x_0,y_0)\bigr)=(0,0),
ou se alguma derivada parcial não existir (aqui todas existem pois f é polinomial).
  • Então precisamos calcular as derivadas parciais primeiras f_x e f_y, e impor que elas valham zero nos pontos dados.
Calculemos as derivadas parciais (mostrando passo a passo como derivar):
  • Derivando em relação a x:
    • \dfrac{\partial}{\partial x}(x^3)=3x^2.
    • \dfrac{\partial}{\partial x}(-a x^2 y)=-2a x y (trata-se de x^2 vezes constante -a y).
    • \dfrac{\partial}{\partial x}(-x^2)=-2x.
    • \dfrac{\partial}{\partial x}(4y^2)=0 (independe de x).
      Portanto,
    f_x(x,y)=3x^2-2a x y-2x.
  • Derivando em relação a y:
    • \dfrac{\partial}{\partial y}(-a x^2 y)=-a x^2.
    • \dfrac{\partial}{\partial y}(4y^2)=8y.
      As demais parcelas não dependem de y. Logo,
    f_y(x,y)=-a x^2+8y.

Passo 3

Impor \nabla f=0 em P_{1}\bigl(1,\tfrac{1}{4}\bigr).
Substituindo x=1 e y=\tfrac{1}{4} em f_x e f_y:
  • Para f_x(1,\tfrac{1}{4}):
f_x\!\left(1,\tfrac{1}{4}\right)=3\cdot1^2-2a\cdot1\cdot\tfrac{1}{4}-2\cdot1 =3-\tfrac{2a}{4}-2=1-\tfrac{a}{2}.
Impor f_x=0
1-\tfrac{a}{2}=0\quad\Rightarrow\quad a=2.
  • Para f_y(1,\tfrac{1}{4}):
f_y\!\left(1,\tfrac{1}{4}\right)=-a\cdot1^2+8\cdot\tfrac{1}{4}=-a+2.
Impor f_y=0
-a+2=0\quad\Rightarrow\quad a=2.
Ambas equações coincidem e produzem a=2. Conclusão: P_{1} é ponto crítico somente quando a=2.

Passo 4

Impor \nabla f=0 em P_{2}(0,0).
Substituindo x=0, y=0:
  • f_x(0,0)=3\cdot0^2-2a\cdot0\cdot0-2\cdot0=0.
  • f_y(0,0)=-a\cdot0^2+8\cdot0=0.
As duas derivadas parciais valem zero para qualquer valor de a. Conclusão: P_{2} é ponto crítico para todo a\in\mathbb{R} (em particular para qualquer a\in\mathbb{R}\setminus\{0\} do enunciado).

Passo 5

Impor \nabla f=0 em P_{3}(2,1).
Substituindo x=2, y=1:
  • Para f_x(2,1):
f_x(2,1)=3\cdot2^2-2a\cdot2\cdot1-2\cdot2=3\cdot4-4a-4=12-4a-4=8-4a.
Impor f_x=0 8-4a=0\Rightarrow a=2.
  • Para f_y(2,1):
f_y(2,1)=-a\cdot2^2+8\cdot1=-4a+8.
Impor f_y=0 -4a+8=0\Rightarrow a=2.
Ambas exigem a=2. Conclusão: P_{3} é ponto crítico somente quando a=2.
Observação resumo até aqui: Para que os três pontos sejam críticos ao mesmo tempo, precisa-se de a=2 (porque P_1 e P_3 exigem a=2; P_2 já é crítico para todo a).

Passo 6

Matriz Hessiana, discriminante e critério de classificação (mini-aula prática).
  • As derivadas segundas são: f_{xx}(x,y)=\dfrac{\partial}{\partial x}f_x=6x-2a y-2,
f_{xy}(x,y)=\dfrac{\partial}{\partial y}f_x=-2a x,
f_{yy}(x,y)=\dfrac{\partial}{\partial y}f_y=8.
  • A matriz Hessiana é H(x,y)=\begin{pmatrix}f_{xx} & f_{xy}\\[4pt] f_{xy} & f_{yy}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}6x-2a y-2 & -2a x\\[4pt] -2a x & 8\end{pmatrix}.
  • O discriminante (determinante) da Hessiana usado no critério de classificação em 2 variáveis é D(x,y)=f_{xx}(x,y)\,f_{yy}(x,y)-\bigl(f_{xy}(x,y)\bigr)^{2}.Critério:
    • Se D>0 e f_{xx}>0 então mínimo local.
    • Se D>0 e f_{xx}<0 então máximo local.
    • Se D<0 então ponto de sela.
    • Se D=0 o teste é inconclusivo.]

Passo 7

Classificação de P_{2}(0,0) (válido para qualquer a).
Calcule as segundas derivadas em (0,0):
f_{xx}(0,0)=6\cdot0-2a\cdot0-2=-2, \qquad f_{xy}(0,0)=-2a\cdot0=0, \qquad f_{yy}(0,0)=8.
O discriminante:
D(0,0)=(-2)\cdot 8 - 0^2 = -16<0.
Como D<0, pelo critério trata-se de um ponto de sela. Conclusão: P_{2}(0,0) é ponto de sela para todos os a (incluindo os a permitidos no enunciado).

Passo 8

Classificação de P_{1}\bigl(1,\tfrac{1}{4}\bigr) com a=2.
Usar a=2 e x=1, y=\tfrac{1}{4}:
f_{xx}\!\left(1,\tfrac{1}{4}\right)=6\cdot1-2\cdot2\cdot\tfrac{1}{4}-2 =6-1-2=3.
f_{xy}\!\left(1,\tfrac{1}{4}\right)=-2\cdot2\cdot1=-4,\qquad f_{yy}\!\left(1,\tfrac{1}{4}\right)=8.
Discriminante:
D\!\left(1,\tfrac{1}{4}\right)=3\cdot 8 - (-4)^2 =24-16=8>0.
Temos D>0 e f_{xx}=3>0, portanto P_{1} é mínimo local quando a=2.

Passo 9

Classificação de P_{3}(2,1) com a=2.
Usar a=2 e x=2, y=1:
f_{xx}(2,1)=6\cdot2-2\cdot2\cdot1-2=12-4-2=6.
f_{xy}(2,1)=-2\cdot2\cdot2=-8,\qquad f_{yy}(2,1)=8.
Discriminante:
D(2,1)=6\cdot 8 - (-8)^2 =48-64=-16<0.
Como D<0, P_{3} é ponto de sela quando a=2.

Resposta

P_{1}\bigl(1,\tfrac{1}{4}\bigr): ponto crítico se, e somente se, a=2. Para a=2 é mínimo local.
P_{2}(0,0): ponto crítico para todo a\in\mathbb{R} (em particular para todo a\in\mathbb{R}\setminus\{0\}); é ponto de sela (para qualquer a).
P_{3}(2,1): ponto crítico se, e somente se, a=2. Para a=2 é ponto de sela.

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