Considere a função
. Determine o valor de a, para que os seguintes pontos
e
sejam pontos críticos da função, classifique a natureza de cada ponto crítico ( máximo local, mínimo local ou ponto de sela) e justifique suas conclusōes utilizando o discriminante da matriz hessiana.
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede duas coisas:
- Determinar o(s) valor(es) de
para que cada um dos pontos , e seja(m) ponto(s) crítico(s) de . - Para cada ponto crítico (com o
correspondente), classificar a natureza do ponto: máximo local, mínimo local ou ponto de sela, justificando com o discriminante da matriz Hessiana.
Informações relevantes fornecidas:
- A função explícita
(peguei isso do enunciado). - Os pontos candidatos:
, , . - O parâmetro
é real e não pode ser zero segundo o enunciado.
Passo 2
Conceito e procedimento para achar pontos críticos (aulas rápidas e úteis).
- Um ponto
é ponto crítico de se o gradiente de se anula ali, isto é:
ou se alguma derivada parcial não existir (aqui todas existem pois
é polinomial).
- Então precisamos calcular as derivadas parciais primeiras
e , e impor que elas valham zero nos pontos dados.
Calculemos as derivadas parciais (mostrando passo a passo como derivar):
- Derivando em relação a
: -
. -
(trata-se de vezes constante ). -
. -
(independe de ).
Portanto,
-
- Derivando em relação a
: -
. -
.
As demais parcelas não dependem de. Logo,
-
Passo 3
Impor
em
.
Substituindo e
em
e
:
Substituindo
- Para
:
Impor
dá
- Para
:
Impor
dá
Ambas equações coincidem e produzem
. Conclusão:
é ponto crítico somente quando
.
Passo 4
Impor
em
.
Substituindo ,
:
Substituindo
-
. -
.
As duas derivadas parciais valem zero para qualquer valor de
. Conclusão:
é ponto crítico para todo
(em particular para qualquer
do enunciado).
Passo 5
Impor
em
.
Substituindo ,
:
Substituindo
- Para
:
Impor
dá
.
- Para
:
Impor
dá
.
Ambas exigem
. Conclusão:
é ponto crítico somente quando
.
Observação resumo até aqui: Para que os três pontos sejam críticos ao mesmo tempo, precisa-se de
(porque
e
exigem
;
já é crítico para todo
).
Passo 6
Matriz Hessiana, discriminante e critério de classificação (mini-aula prática).
- As derivadas segundas são:
- A matriz Hessiana é
- O discriminante (determinante) da Hessiana usado no critério de classificação em 2 variáveis é
Critério: - Se
e então mínimo local. - Se
e então máximo local. - Se
então ponto de sela. - Se
o teste é inconclusivo.]
- Se
Passo 7
Classificação de
(válido para qualquer
).
Calcule as segundas derivadas em :
Calcule as segundas derivadas em
O discriminante:
Como
, pelo critério trata-se de um ponto de sela. Conclusão:
é ponto de sela para todos os
(incluindo os
permitidos no enunciado).
Passo 8
Classificação de
com
.
Usar e
,
:
Usar
Discriminante:
Temos
e
, portanto
é mínimo local quando
.
Passo 9
Classificação de
com
.
Usar e
,
:
Usar
Discriminante:
Como
,
é ponto de sela quando
.