Considere a função
, definida para todo
.
(a) Efetue as divisões
e
.
(b) Determine todas as raízes de
.
(c) Verifique se
é uma função injetiva.
(d) Determine o conjunto Imagem de
.
(a) Efetue as divisões
(b) Determine todas as raízes de
(c) Verifique se
(d) Determine o conjunto Imagem de
Passo 1
O enunciado apresenta a função
definida em
. Vamos usar divisão polinomial para a parte (a), fatoração para a parte (b), a definição de injetividade para (c) e cálculo de derivada e limites para (d).
Passo 2
Queremos dividir
Suponha
Expandindo o produto:
Somando o resto
e comparando com
, igualamos coeficientes:
-
: . -
: ⇒ . -
: . - constante:
⇒ .
Logo a divisão é exata e
Passo 3
Para
repare que da fatoração anterior obtemos
Logo é exata também e
Passo 4
As raízes de
vêm de
⇒
ou
.
Assim
Assim
No domínio real temos as raízes
.
Passo 5
Uma função é injetiva se valores diferentes em
dão imagens diferentes. Aqui
é par:
. Por exemplo
Portanto não é injetiva, pois
mas
.
Passo 6
Para achar a imagem estudamos
:
logo pontos críticos em
. Avaliando:
Como
, o valor máximo global é
em
e não há mínimo (vai a
). Portanto
Resposta
(a)
(resto
),
(resto
).
(b) (reais) e
.
(c) não é injetiva.
(d) .
(b)
(c)
(d)