Considere a função j(x)=-x^4+2 x^2+3, definida para todo x in R.
(a) Efetue as divisões j(x) div(x^2-3) e j(x) div(x^2+1).
(b) Determine todas as raízes de j(x).
(c) Verifique se j(x) é uma função injetiva.
(d) Determine o conjunto Imagem de j.

Passo 1

O enunciado apresenta a função
j(x) = -x^4 + 2x^2 + 3
definida em R. Vamos usar divisão polinomial para a parte (a), fatoração para a parte (b), a definição de injetividade para (c) e cálculo de derivada e limites para (d).

Passo 2

Queremos dividir
j(x)divl(x^2-3r)
Suponha
j(x) = l(Ax^2+Br),(x^2-3) + (Cx + D)
Expandindo o produto:
l(Ax^2+Br),(x^2-3) = A,x^4 + (B-3A),x^2 - 3B
Somando o resto Cx+D e comparando com -x^4+2x^2+3, igualamos coeficientes:
  • x^4: A=-1.
  • x^2: B-3A = B+3 = 2 B=-1.
  • x: C=0.
  • constante: -3B + D = 3 + D = 3 D=0.
Logo a divisão é exata e
j(x)x^2-3 = -x^2-1,resto 0

Passo 3

Para
j(x)divl(x^2+1r),
repare que da fatoração anterior obtemos
j(x) = -(x^2-3),(x^2+1)
Logo é exata também e
j(x)x^2+1 = -(x^2-3) = -x^2+3,resto 0

Passo 4

As raízes de j(x) vêm de
-(x^2-3),(x^2+1)=0
x^2-3=0 ou x^2+1=0.
Assim
x = pmraiz3 e x = pm i
No domínio real temos as raízes x=pmraiz3.

Passo 5

Uma função é injetiva se valores diferentes em x dão imagens diferentes. Aqui j é par: j(-x)=j(x). Por exemplo
j(1) = -1 + 2 + 3 = 4 e j(-1)=4
Portanto não é injetiva, pois 1neq -1 mas j(1)=j(-1).

Passo 6

Para achar a imagem estudamos j'(x):
j'(x) = -4x^3+4x = -4x,(x^2-1),
logo pontos críticos em x=0,pm1. Avaliando:
j(0)=3, j(pm1)=4
Como lim|x|toinftyj(x)=-infty, o valor máximo global é 4 em x=pm1 e não há mínimo (vai a -infty). Portanto
Im(j)=(-infty,4]

Resposta

(a) j(x)x^2-3=-x^2-1 (resto 0),
j(x)x^2+1=-x^2+3 (resto 0).
(b) x=pmraiz3 (reais) e x=pm i.
(c) j não é injetiva.
(d) Im(j)=(-infty,4].

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