Considere a função f(x)=x^2-4x^2.
a) Calcule f(-2) e f(2).
b) O Teorema de Rolle pode ser aplicado a esta função no intervalo [-2,2] ? Explique.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)=x^2-4x^2
e pede:
a) calcular f(-2) e f(2);
b) verificar se o Teorema de Rolle vale em [-2,2].
Para isso vamos precisar de dois ingredientes: avaliação direta da expressão em -2 e em 2, e depois checar as hipóteses de Rolle (igualdade de valores nos extremos, continuidade em [a,b] e diferenciabilidade em (a,b)).

Passo 2

Primeiro avaliamos
f(-2)=(-2)^2-4(-2)^2=4-44=0,
f(2)=2^2-42^2=4-44=0
Logo f(-2)=0 e f(2)=0, ou seja, f(a)=f(b) com a=-2 e b=2.

Passo 3

Agora examinamos o domínio de f. Como há divisão por x^2, precisamos de xneq0. Portanto
domínio(f)=Rsetminus0 í
No intervalo [-2,2] está o ponto x=0, onde f não está definida. Logo f não é contínua em todo [-2,2] e tampouco diferenciável em todo (-2,2).

Passo 4

O Teorema de Rolle exige:
  1. f(a)=f(b) (aqui satisfeito, pois 0=0);
  2. continuidade de f em [a,b];
  3. diferenciabilidade de f em (a,b).
    Como f falha em ser contínua (e diferenciável) em x=0in(-2,2), as hipóteses de Rolle não se cumprem.

Resposta

a) f(-2)=0 e f(2)=0.
b) Não. Apesar de f(-2)=f(2), a função não é contínua em [-2,2] (nem diferenciável em (-2,2)) porque não está definida em x=0.

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