Considere a função
.
a) Calcule
e
.
b) O Teorema de Rolle pode ser aplicado a esta função no intervalo
? Explique.
a) Calcule
b) O Teorema de Rolle pode ser aplicado a esta função no intervalo
Passo 1
O enunciado define a função
e pede:
a) calcular e
;
b) verificar se o Teorema de Rolle vale em .
Para isso vamos precisar de dois ingredientes: avaliação direta da expressão em e em
, e depois checar as hipóteses de Rolle (igualdade de valores nos extremos, continuidade em
e diferenciabilidade em
).
a) calcular
b) verificar se o Teorema de Rolle vale em
Para isso vamos precisar de dois ingredientes: avaliação direta da expressão em
Passo 2
Primeiro avaliamos
Logo
e
, ou seja,
com
e
.
Passo 3
Agora examinamos o domínio de
. Como há divisão por
, precisamos de
. Portanto
No intervalo
está o ponto
, onde
não está definida. Logo
não é contínua em todo
e tampouco diferenciável em todo
.
Passo 4
O Teorema de Rolle exige:
-
(aqui satisfeito, pois ); - continuidade de
em ; - diferenciabilidade de
em .
Comofalha em ser contínua (e diferenciável) em , as hipóteses de Rolle não se cumprem.
Resposta
a)
e
.
b) Não. Apesar de , a função não é contínua em
(nem diferenciável em
) porque não está definida em
.
b) Não. Apesar de