Usando o Teorema de L’Hospital, calcule os limites:
lim x 0 x-tg(x)sen(x)-x.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
limxto 0x-tan(x)sin(x)-x
O conteúdo principal é o Teorema de L’Hospital, pois a substituição direta leva a uma indeterminação do tipo 0/0.

Passo 2

Verifique a forma da indeterminação:
x-tan(x)l|x=0=0-0=0, sin(x)-xl|x=0=0-0=0
Como obtemos 0/0, podemos aplicar o Teorema de L’Hospital, derivando numerador e denominador.

Passo 3

Calcule as derivadas:
ddxl(x-tan(x)r) =1-sec^2(x), ddxl(sin(x)-xr) =cos(x)-1
O limite original passa a ser
limxto 01-sec^2(x)cos(x)-1

Passo 4

Simplifique a expressão usando identidades trigonométricas:
1-sec^2(x) =-l(sec^2(x)-1r) =-tan^2(x), cos(x)-1 =-l(1-cos(x)r)
Portanto,
1-sec^2(x)cos(x)-1 =-tan^2(x)-l(1-cos(x)r) =tan^2(x)1-cos(x) =sin^2(x)cos^2(x),l(1-cos(x)r)
Como sin^2(x)=(1-cos(x))(1+cos(x)), chega-se a
sin^2(x)cos^2(x),(1-cos(x)) =1+cos(x)cos^2(x)

Passo 5

Agora faça xto 0: cos(x)to 1. Logo,
limxto 01+cos(x)cos^2(x) =1+11^2 =2

Resposta

2

Exercícios relacionados