Esboce o gráfico das seguintes funções, utilizando as curvas de nível de
:
(i)
(i)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para esboçarmos o gráfico da função
usando as curvas de nível. Isso significa que vamos usar as curvas onde a função assume valores constantes para ajudar a desenhar o gráfico tridimensional dessa função. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são curvas de nível e como elas nos ajudam a visualizar funções de duas variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são curvas de nível. Imagine que você tem uma montanha e está olhando de cima. As curvas de nível seriam as linhas que representam altitudes iguais – como as trilhas que formam círculos ao redor do pico. Para uma função
, uma curva de nível para um valor
é o conjunto de pontos
onde
. Essas curvas nos dão uma ideia de como a função se comporta no espaço.
Passo 3
Agora, vamos encontrar as curvas de nível para a função
. Vamos escolher alguns valores de
e resolver a equação
:
-
Para
: Então, a curva de nível é a linha. -
Para
: Isso nos dá duas linhas horizontais: uma eme outra em .
Note que para
, não há solução real, pois o quadrado de um número real não pode ser negativo. Portanto, só consideramos
.
Passo 4
Vamos plotar essas curvas de nível no plano
:
- A curva para
é a linha (o eixo ). - Para
, temos e . - Para
, temos e . - E assim por diante, aumentando
, as linhas se afastam do eixo .
Essas linhas horizontais indicam que, conforme
aumenta, o valor de
se afasta mais do eixo
.
Passo 5
Com as curvas de nível desenhadas, podemos agora imaginar o gráfico tridimensional de
. Como as curvas de nível são linhas horizontais que se afastam do eixo
conforme
aumenta, o gráfico será uma superfície parabólica que se abre para cima e para baixo ao longo do eixo
. Isso forma um cilindro parabólico, onde para cada
, o valor de
depende apenas de
.
Resposta
O gráfico da função
é um cilindro parabólico que se abre para cima e para baixo ao longo do eixo
. Utilizando as curvas de nível, vemos que para cada valor de
, o valor de
aumenta quadráticamente, formando uma superfície lisa e simétrica em relação ao eixo
.