Esboce o gráfico das seguintes funções, utilizando as curvas de nível de f:
(i) f(x, y)=y^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para esboçarmos o gráfico da função usando as curvas de nível. Isso significa que vamos usar as curvas onde a função assume valores constantes para ajudar a desenhar o gráfico tridimensional dessa função. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são curvas de nível e como elas nos ajudam a visualizar funções de duas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são curvas de nível. Imagine que você tem uma montanha e está olhando de cima. As curvas de nível seriam as linhas que representam altitudes iguais – como as trilhas que formam círculos ao redor do pico. Para uma função , uma curva de nível para um valor é o conjunto de pontos onde . Essas curvas nos dão uma ideia de como a função se comporta no espaço.

Passo 3

Agora, vamos encontrar as curvas de nível para a função y^2 = 0 Rightarrow y = 0 . Vamos escolher alguns valores de y^2 = k Rightarrow y = raizk ) ou ( y = -raizk e resolver a equação :
  • Para :
    Então, a curva de nível é a linha .
  • Para :
    Isso nos dá duas linhas horizontais: uma em e outra em .
Note que para , não há solução real, pois o quadrado de um número real não pode ser negativo. Portanto, só consideramos .

Passo 4

Vamos plotar essas curvas de nível no plano :
  • A curva para é a linha (o eixo ).
  • Para , temos e .
  • Para , temos e .
  • E assim por diante, aumentando , as linhas se afastam do eixo .
Essas linhas horizontais indicam que, conforme aumenta, o valor de se afasta mais do eixo .

Passo 5

Com as curvas de nível desenhadas, podemos agora imaginar o gráfico tridimensional de . Como as curvas de nível são linhas horizontais que se afastam do eixo conforme aumenta, o gráfico será uma superfície parabólica que se abre para cima e para baixo ao longo do eixo . Isso forma um cilindro parabólico, onde para cada , o valor de depende apenas de .

Resposta

O gráfico da função é um cilindro parabólico que se abre para cima e para baixo ao longo do eixo . Utilizando as curvas de nível, vemos que para cada valor de , o valor de aumenta quadráticamente, formando uma superfície lisa e simétrica em relação ao eixo .

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