Considere a função f(t) abaixo:
Para t<4:
f(t)=1
Para 4 <= t
f(t)=-2
Considere o PVI abaixo.
y^prime prime-y^prime-2 y=f(t), y(0)=0, y^prime prime(0)=0
Calcule a transformada de Laplace da solução deste PVI, isto é Y(s)=Ly(t)

Passo 1

O enunciado dá um problema de valor inicial para a EDO
com condições
Vamos usar a Transformada de Laplace para encontrar (Y(s)=\mathcal{L}{y(t)}].

Passo 2

Tomando Laplace em ambos os lados da EDO e usando Ly''=s^2Y(s)-s,y(0)-y'(0) e Ly'=sY(s)-y(0), obtemos
l[s^2Y(s)-scdot0-0r];-;l[sY(s)-0r];-;2Y(s) ;=;Lf(t)
Isso simplifica para
(s^2 - s - 2),Y(s)=Lf(t)

Passo 3

Escrevemos f(t) com função de Heaviside:
f(t)=1-3,u(t-4),
pois em t<4 vale 1 e em t>=4 vale 1-3=-2. Aí
Lf(t) =L1-3,Lu(t-4) =1s-3;e^-4ss

Passo 4

Substituindo em (s^2 - s - 2),Y(s)=Lf(t), vem
Y(s) = 1s-3,e^-4sss^2-s-2 =1/s(s-2)(s+1) -3,e^-4s/s(s-2)(s+1)

Resposta

Y(s) =1s,(s-2)(s+1) -3,e^-4ss,(s-2)(s+1)

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