Questão 1: Verifique quais dos conjuntos a seguir são abertos em R^2.
(x, y) mid x^2+y^2<1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para verificar se o conjunto (x, y) mid x^2+y^2<1 é aberto no espaço R^2. Vamos usar conceitos de topologia básica para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, o que é um conjunto aberto em R^2? Um conjunto é aberto se, para cada ponto dentro dele, existe uma “bolinha” ao redor desse ponto que também está completamente dentro do conjunto. Imagina que você tem um ponto no conjunto e pode desenhar um círculo pequeno ao redor desse ponto sem sair do conjunto.

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso ao nosso conjunto (x, y) mid x^2+y^2<1. Esse conjunto representa todos os pontos no plano R^2 que estão a uma distância menor que 1 do ponto (0,0), ou seja, é o interior de um círculo de raio 1.
Para verificar se é aberto, pegamos qualquer ponto (a, b) nesse conjunto, onde a^2+b^2<1. Queremos encontrar um raio epsilon > 0 tal que todos os pontos dentro de uma distância epsilon de (a, b) também satisfaçam x^2+y^2<1.
Como a^2+b^2<1, existe uma diferença 1 - (a^2+b^2) = de<a > 0. Podemos escolher epsilon sendo menor que de<a, garantindo que qualquer ponto dentro da “bolinha” de raio epsilon ao redor de (a, b) também estará dentro do círculo onde x^2+y^2<1.

Passo 4

Como conseguimos sempre encontrar esse epsilon para qualquer ponto no conjunto, isso confirma que o conjunto (x, y) mid x^2+y^2<1 é aberto em R^2.

Resposta

O conjunto (x, y) mid x^2+y^2<1 é aberto em R^2.

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