Questão 1: Verifique quais dos conjuntos a seguir são abertos em
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para verificar se o conjunto
é aberto no espaço
. Vamos usar conceitos de topologia básica para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, o que é um conjunto aberto em
? Um conjunto é aberto se, para cada ponto dentro dele, existe uma “bolinha” ao redor desse ponto que também está completamente dentro do conjunto. Imagina que você tem um ponto no conjunto e pode desenhar um círculo pequeno ao redor desse ponto sem sair do conjunto.
Passo 3
Agora, vamos aplicar isso ao nosso conjunto
. Esse conjunto representa todos os pontos no plano
que estão a uma distância menor que 1 do ponto (0,0), ou seja, é o interior de um círculo de raio 1.
Para verificar se é aberto, pegamos qualquer ponto
nesse conjunto, onde
. Queremos encontrar um raio
tal que todos os pontos dentro de uma distância
de
também satisfaçam
.
Como
, existe uma diferença
. Podemos escolher
sendo menor que
, garantindo que qualquer ponto dentro da “bolinha” de raio
ao redor de
também estará dentro do círculo onde
.
Passo 4
Como conseguimos sempre encontrar esse
para qualquer ponto no conjunto, isso confirma que o conjunto
é aberto em
.
Resposta
O conjunto
é aberto em
.