Encontre o limite indicado utilizando a Regra de LHôspital.
lim x infty x^1x

Passo 1

O enunciado pede o limite
limxtoinfty x^tfrac1x
e sugere usar a Regra de L’Hopital. Como a fun\c{c}~ao est’a na forma \textquotedblbase base elevada a expoente”{} e o expoente tende a zero, 'e mais f’acil trabalhar com o logaritmo natural para transformar em quociente.

Passo 2

Definimos
y = x^tfrac1x
e aplicamos logaritmo natural em ambos os lados:
ln y = lnl(x^tfrac1xr) = 1x,ln x = ln xx
Agora o problema é calcular
limxtoinfty ln y = limxtoinftyln xx

Passo 3

Para avaliar
limxtoinftyln xx
vemos que 'e uma forma indeterminada tfracinftyinfty, ent~ao aplicamos L’Hopital:
derivada do numerador 'e ddx(ln x)=1x, e do denominador 'e ddx(x)=1. Logo,
limxtoinftyln xx =limxtoinftytfrac1x1 =limxtoinfty1x =0
Assim,
limxtoinftyln y = 0

Passo 4

Como ln yto0, temos yto e^0. Logo, voltando à função original,
limxtoinftyx^tfrac1x = 1

Resposta

1

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