Considere a função f(t) abaixo:
Para t<4:
f(t)=1
Para 4 <= t
f(t)=-2
Calcule a transformada de Laplace de f(t).

Passo 1

O enunciado define a função em duas partes: f(t)=1 para t<4 e f(t)=-2 para t>=4. Vamos usar a definição da transformada de Laplace, que é:
Lf(t)=integral0^inftyf(t)e^-st,dt
e quebrar essa integral nos intervalos em que f muda de valor.

Passo 2

Escrevendo a integral em dois pedaços, temos
Lf(t) =integral0^41cdot e^-st,dt +integral4^infty(-2)e^-st,dt

Passo 3

Calculamos cada parte separadamente:
integral0^4e^-st,dt =[-1se^-st]0^4 =1sl(1-e^-4sr)
integral4^inftye^-st,dt =[-1se^-st]4^infty =e^-4ss
integral4^infty(-2)e^-st,dt =-2e^-4ss

Passo 4

Somando as duas partes:
Lf(t) =1sl(1-e^-4sr) -2e^-4ss =1s-3e^-4ss

Resposta

Lf(t) = 1s - 3e^-4ss

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