Para os valores de b encontrados no item anterior, f é diferenciável em 0?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função definida por partes:
f(x)= x^2-x & se x < 0 b & se x = 0 sin^2(x)x & se x > 0
O que queremos saber é: para os valores de b que já encontramos no exercício anterior (que garantem que a função seja contínua em 0 ), será que a função f também é diferenciável nesse ponto? Para resolver isso, vamos precisar entender sobre continuidade e derivadas em pontos específicos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para uma função ser diferenciável em um ponto, ela precisa ser contínua nesse ponto. Como já achamos os valores de b que fazem f ser contínua em 0 , vamos focar na derivada.
A derivada em 0 existe se os limites laterais das derivadas à esquerda e à direita de 0 existirem e forem iguais.
Passo 3
Vamos calcular a derivada pela esquerda de 0 , ou seja, quando x se aproxima de 0 vindo dos valores negativos ( x < 0 ).
A função para x < 0 é f(x) = x^2 - x . Sua derivada é:
f'(x) = 2x - 1
Agora, calculamos o limite quando x se aproxima de 0 :
limx to 0^- f'(x) = limx to 0^- (2x - 1) = -1
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada pela direita de 0 , ou seja, quando x se aproxima de 0 vindo dos valores positivos ( x > 0 ).
A função para x > 0 é f(x) = sin^2(x)x . Para encontrar a derivada, usamos a regra do quociente: