Considere a função abaixo e responda:
f(x)=cl x^2-x & , se x<0 b & , se x=0 sen^2(x)x & , se x>0
Para os valores de b encontrados no item anterior, f é diferenciável em 0?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função definida por partes:
f(x)= x^2-x & se x < 0 b & se x = 0 sin^2(x)x & se x > 0
O que queremos saber é: para os valores de b que já encontramos no exercício anterior (que garantem que a função seja contínua em 0 ), será que a função f também é diferenciável nesse ponto? Para resolver isso, vamos precisar entender sobre continuidade e derivadas em pontos específicos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para uma função ser diferenciável em um ponto, ela precisa ser contínua nesse ponto. Como já achamos os valores de b que fazem f ser contínua em 0 , vamos focar na derivada.
A derivada em 0 existe se os limites laterais das derivadas à esquerda e à direita de 0 existirem e forem iguais.

Passo 3

Vamos calcular a derivada pela esquerda de 0 , ou seja, quando x se aproxima de 0 vindo dos valores negativos ( x < 0 ).
A função para x < 0 é f(x) = x^2 - x . Sua derivada é:
f'(x) = 2x - 1
Agora, calculamos o limite quando x se aproxima de 0 :
limx to 0^- f'(x) = limx to 0^- (2x - 1) = -1

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada pela direita de 0 , ou seja, quando x se aproxima de 0 vindo dos valores positivos ( x > 0 ).
A função para x > 0 é f(x) = sin^2(x)x . Para encontrar a derivada, usamos a regra do quociente:
f'(x) = 2sin(x)cos(x) cdot x - sin^2(x) cdot 1x^2 = 2xsin(x)cos(x) - sin^2(x)x^2
Agora, calculamos o limite quando x se aproxima de 0 :
limx to 0^+ f'(x) = limx to 0^+ 2xsin(x)cos(x) - sin^2(x)x^2
Sabemos que sin(x) approx x e cos(x) approx 1 quando x está perto de 0 , então:
limx to 0^+ 2x cdot x cdot 1 - x^2x^2 = limx to 0^+ 2x^2 - x^2x^2 = limx to 0^+ x^2x^2 = 1

Passo 5

Agora que temos os limites das derivadas pela esquerda e pela direita:
limx to 0^- f'(x) = -1 e limx to 0^+ f'(x) = 1
Como esses dois limites não são iguais ( -1 neq 1 ), a derivada de f em 0 não existe.

Resposta

Não, para os valores de b que tornam f contínua em 0 , a função f não é diferenciável em 0 .

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