Encontre a reta tangente à função no ponto dado
f(x)=3raizx^3+1, em(2,1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a reta tangente à função f(x) = 3raizx^3 + 1 no ponto dado (2,1). Isso envolve calcular a derivada da função para achar a inclinação da reta tangente e, depois, usar essa inclinação juntamente com o ponto para montar a equação da reta. Vamos precisar de conhecimentos de cálculo diferencial, especialmente sobre derivadas e retas tangentes.

Passo 2

Primeiro, vamos confirmar que o ponto (2,1) realmente está na função f(x) . Isso é importante para garantir que estamos trabalhando com o ponto certo.
Calculando f(2) :
f(2) = 3raiz2^3 + 1 = 3raiz8 + 1 = 3raiz9 = 33 = 1
Então, o ponto (2,1) está mesmo na função.

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada da função f(x) . A derivada nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da função. A função é:
f(x) = 3raizx^3 + 1 = 3 cdot (x^3 + 1)^-12
Vamos usar a regra do poder e a regra da cadeia para derivar.
Primeiro, identificamos as partes:
  • Externo: u^-1/2
  • Interno: u = x^3 + 1
A derivada será:
f'(x) = 3 cdot ( -12 ) cdot (x^3 + 1)^-32 cdot 3x^2
Simplificando:
f'(x) = -9x^22(x^3 + 1)^32

Passo 4

Agora que temos a derivada, vamos calcular f'(2) para encontrar a inclinação da reta tangente no ponto x = 2 .
Substituindo x = 2 na derivada:
f'(2) = -9 cdot 2^22(2^3 + 1)^32 = -9 cdot 42(8 + 1)^32 = -362 cdot 9^32
Calculando 9^32 :
9^32 = (raiz9)^3 = 3^3 = 27
Então:
f'(2) = -362 cdot 27 = -3654 = -23
A inclinação da reta tangente é -23 .

Passo 5

Agora que temos a inclinação da reta tangente m = -23 e o ponto (2,1) , vamos usar a fórmula da reta na forma ponto-inclinação:
y - y1 = m(x - x1)
Substituindo:
y - 1 = -23(x - 2)
Vamos simplificar essa equação para a forma padrão y = mx + b :
y = -23x + 43 + 1
y = -23x + 73

Resposta

A reta tangente à função f(x) = 3raizx^3 + 1 no ponto (2,1) é:
y = -23x + 73

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