Encontre a reta tangente à função no ponto dado
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a reta tangente à função
no ponto dado
. Isso envolve calcular a derivada da função para achar a inclinação da reta tangente e, depois, usar essa inclinação juntamente com o ponto para montar a equação da reta. Vamos precisar de conhecimentos de cálculo diferencial, especialmente sobre derivadas e retas tangentes.
Passo 2
Primeiro, vamos confirmar que o ponto
realmente está na função
. Isso é importante para garantir que estamos trabalhando com o ponto certo.
Calculando
:
Então, o ponto
está mesmo na função.
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada da função
. A derivada nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da função. A função é:
Vamos usar a regra do poder e a regra da cadeia para derivar.
Primeiro, identificamos as partes:
- Externo:
- Interno:
A derivada será:
Simplificando:
Passo 4
Agora que temos a derivada, vamos calcular
para encontrar a inclinação da reta tangente no ponto
.
Substituindo
na derivada:
Calculando
:
Então:
A inclinação da reta tangente é
.
Passo 5
Agora que temos a inclinação da reta tangente
e o ponto
, vamos usar a fórmula da reta na forma ponto-inclinação:
Substituindo:
Vamos simplificar essa equação para a forma padrão
:
Resposta
A reta tangente à função
no ponto
é: