Determine se a integral converge ou diverge.
integral-infty^-1 e^-3 x d x

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos analisar a convergência da integral imprópria
integral-infty^-1 e^-3x,dx
O conteúdo envolvido é integral de função exponencial e cálculo de limite para integral imprópria.

Passo 2

Escrevemos a integral como limite de uma integral definida finita:
integral-infty^-1 e^-3x,dx = limato -infty integrala^-1 e^-3x,dx

Passo 3

Calculamos uma antiderivada de e^-3x. Sabemos que
ddxl(-tfrac13e^-3xr) = e^-3x,
portanto
integral e^-3x,dx = -tfrac13e^-3x + C

Passo 4

Avaliamo-la de x=a até x=-1 e depois tomamos ato -infty:
integrala^-1 e^-3x,dx = l[-tfrac13e^-3xr]x=a^x=-1 = -tfrac13e^3 - l(-tfrac13e^-3ar) = -tfrac13e^3 + tfrac13e^-3a
À medida que ato -infty, temos -3ato +infty e e^-3ato +infty. Logo o termo tfrac13e^-3a diverge para +infty.

Passo 5

Como o limite da integral parcial cresce sem limite, concluímos que a integral imprópria não converge.

Resposta

A integral diverge.

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