Considere a função analítica
definida por
Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma função analítica $ f(x) = \frac{3x}{x^2 - 4} $ e pede para mostrar que a soma infinita $ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{4^{n+1}} $ é igual a $ \frac{1}{3} $. Vamos precisar entender um pouco sobre séries geométricas, que são somas de termos que seguem uma razão constante.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a soma que temos: $ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{4^{n+1}} $. Isso significa que estamos somando termos como $ \frac{1}{4^1}, \frac{1}{4^2}, \frac{1}{4^3} $ e assim por diante.
Passo 3
Uma série geométrica é uma soma de termos onde cada termo é uma constante, chamada razão $ r $, multiplicada pelo termo anterior. A fórmula para a soma infinita de uma série geométrica que começa com $ a $ é:
desde que $ |r| < 1 $.
Passo 4
No nosso caso, podemos reescrever a soma assim:
Aqui, o primeiro termo $ a $ é $ \frac{1}{4} $ e a razão $ r $ é também $ \frac{1}{4} $.
Passo 5
Aplicando a fórmula da série geométrica:
Resposta
Então, $ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{4^{n+1}} = \frac{1}{3} $.