Para as funções f e g definidas abaixo determine o domínio das funções f circ g e g circ f :
a) f(x)=raizx e g(x)=x^2-3 x-4.

Passo 1

O enunciado pede para determinar o domínio das composições f∘g e g∘f, onde f(x)= raizx e g(x)= x^2-3x-4. O conteúdo é domínio de funções compostas e vamos usar a regra: domínio de f∘g = {x em domínio de g | g(x) em domínio de f} e domínio de g∘f = {x em domínio de f | f(x) em domínio de g}.

Passo 2

Primeiro, vamos anotar os domínios individuais. f(x)= raizx exige que o radicando seja ≥0, então o domínio de f é [0,infty). g(x)= x^2-3x-4 é um polinômio, logo seu domínio é ( -infty,infty ).

Passo 3

Para achar o domínio de f∘g, precisamos de x em domínio de g (que é todos os reais) tais que g(x) ≥ 0 (porque g(x) será entrada de f). Então resolvemos a desigualdade:
x^2 - 3x - 4 >= 0
As raízes do polinômio são
x = 3 pm raiz9 + 162 = 3 pm 52,
isto é, x=4 e x=−1. Um polinômio quadrático com coeficiente principal positivo é ≥0 fora do intervalo entre as raízes. Logo
domínio de fcirc g = (-infty,-1]cup[4,infty) í

Passo 4

Para o domínio de g∘f, precisamos de x em domínio de f (isto é, x≥0) tais que f(x) esteja no domínio de g. Como g é polinômio e aceita qualquer real, não há restrição extra além de x≥0. Portanto
domínio de gcirc f = [0,infty) í

Resposta

Domínio de f∘g: (-∞, −1] ∪ [4, ∞)
Domínio de g∘f: [0, ∞)

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