Para as funções
e
definidas abaixo determine o domínio das funções
e
:
a)
e
.
a)
Passo 1
O enunciado pede para determinar o domínio das composições f∘g e g∘f, onde f(x)=
e g(x)=
. O conteúdo é domínio de funções compostas e vamos usar a regra: domínio de f∘g = {x em domínio de g | g(x) em domínio de f} e domínio de g∘f = {x em domínio de f | f(x) em domínio de g}.
Passo 2
Primeiro, vamos anotar os domínios individuais. f(x)=
exige que o radicando seja ≥0, então o domínio de f é
. g(x)=
é um polinômio, logo seu domínio é
.
Passo 3
Para achar o domínio de f∘g, precisamos de x em domínio de g (que é todos os reais) tais que g(x) ≥ 0 (porque g(x) será entrada de f). Então resolvemos a desigualdade:
As raízes do polinômio são
isto é, x=4 e x=−1. Um polinômio quadrático com coeficiente principal positivo é ≥0 fora do intervalo entre as raízes. Logo
Passo 4
Para o domínio de g∘f, precisamos de x em domínio de f (isto é, x≥0) tais que f(x) esteja no domínio de g. Como g é polinômio e aceita qualquer real, não há restrição extra além de x≥0. Portanto
Resposta
Domínio de f∘g: (-∞, −1] ∪ [4, ∞)
Domínio de g∘f: [0, ∞)
Domínio de g∘f: [0, ∞)