Considere a função f(x)=arcsen x
Usando a aproximação de Taylor de ordem 1 de f(x) e que raiz2 approx 9970, encontre um valor aproximado para arcsen (0,75). mado para arcsen (0,75).

Passo 1

O enunciado pede para aproximar arcsin(0,75) usando a expansão de Taylor de ordem 1 de f(x)=arcsin x em torno de um ponto onde f e f' sejam simples de calcular. Vamos usar x0=1/raiz2, pois conhecemos arcsin(1/raiz2)=pi/4 e a derivada fica simples.

Passo 2

Para f(x)=arcsin x temos f'(x)=1/raiz1-x^2. Em x0=1/raiz2 isso dá
f'(x0)=1raiz1-12=1raiztfrac12=raiz2

Passo 3

A aproximação linear (Taylor de ordem 1) em torno de x0 é
arcsin(x)approx f(x0)+f'(x0)(x-x0)=pi4+raiz2l(x-tfrac1raiz2r)

Passo 4

Agora usamos as aproximações dadas: raiz2approxtfrac9970 e 1/raiz2approxtfrac7099. Substituindo x=0,75:
arcsin(0,75)approxpi4+9970l(0,75-7099r) =pi4+9970cdot34-1 =pi4+297280-1 =pi4+17280

Passo 5

Para obter um valor numérico, usamos piapprox3,1416:
pi4approx0,7854, 17280approx0,0607
Somando dá aproximadamente 0,8461 radianos.

Resposta

arcsin(0,75)approx0,8461,rad

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