Consiedere o tetraedro delimitado pelos planos coordenados e pelo plano
. Faça um esboço dessa região e calcule seu volume.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente considerar um tetraedro formado pelos planos coordenados (os planos que formam os eixos x, y e z) e pelo plano
. Nosso objetivo é esboçar essa região e calcular o volume dela. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica e cálculo de volumes de sólidos no espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir onde o plano
corta os eixos coordenados. Esses pontos serão os vértices do nosso tetraedro.
-
Interseção com o eixo x: Colocamos
e na equação: Então, o ponto é. -
Interseção com o eixo y: Colocamos
e : Então, o ponto é. -
Interseção com o eixo z: Colocamos
e : Então, o ponto é.
Agora, temos os três vértices do tetraedro além da origem
.
Passo 3
Com os vértices
,
,
e
, podemos calcular o volume do tetraedro. A fórmula para o volume de um tetraedro formado pelos planos coordenados e um plano qualquer é:
Onde:
-
é o intercepto no eixo x, -
é o intercepto no eixo y, -
é o intercepto no eixo z.
Passo 4
Vamos substituir os valores que encontramos:
Então,
Resposta
O volume do tetraedro é igual a
unidade cúbica.