(2,0) Consiedere o tetraedro delimitado pelos planos coordenados e pelo plano 3 x+2 y+6 z=6. Faça um esboço dessa região e calcule seu volume.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente considerar um tetraedro formado pelos planos coordenados (os planos que formam os eixos x, y e z) e pelo plano 3x + 2y + 6z = 6. Nosso objetivo é esboçar essa região e calcular o volume dela. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica e cálculo de volumes de sólidos no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir onde o plano 3x + 2y + 6z = 6 corta os eixos coordenados. Esses pontos serão os vértices do nosso tetraedro.
  • Interseção com o eixo x: Colocamos y = 0 e z = 0 na equação:
    3x = 6 implies x = 2
    Então, o ponto é (2, 0, 0).
  • Interseção com o eixo y: Colocamos x = 0 e z = 0:
    2y = 6 implies y = 3
    Então, o ponto é (0, 3, 0).
  • Interseção com o eixo z: Colocamos x = 0 e y = 0:
    6z = 6 implies z = 1
    Então, o ponto é (0, 0, 1).
Agora, temos os três vértices do tetraedro além da origem (0, 0, 0).

Passo 3

Com os vértices (0, 0, 0), (2, 0, 0), (0, 3, 0) e (0, 0, 1), podemos calcular o volume do tetraedro. A fórmula para o volume de um tetraedro formado pelos planos coordenados e um plano qualquer é:
V = 16 times a times b times c
Onde:
  • a é o intercepto no eixo x,
  • b é o intercepto no eixo y,
  • c é o intercepto no eixo z.

Passo 4

Vamos substituir os valores que encontramos:
a = 2, b = 3, c = 1
Então,
V = 16 times 2 times 3 times 1 = 66 = 1

Resposta

O volume do tetraedro é igual a 1 unidade cúbica.

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