Use divisão de polinômios para escrever a função racional f(x)=3 x^4+3 x^3-5 x^2+x-1x^2+x-2 na forma
f(x)=q(x)+r(x)x^2+x-2
com q e r funções polinomiais, com o grau de r menor do que ou igual a 1 (se r neq 0 ).

Passo 1

O enunciado pede para usar divisão de polinômios para escrever a função racional f(x)=3x^4+3x^3-5x^2+x-1x^2+x-2 na forma f(x)=q(x)+r(x)x^2+x-2, com grau de r menor que 2. O conteúdo é o algoritmo da divisão de polinômios, onde encontramos um quociente q(x) e um resto r(x).

Passo 2

Começamos dividindo o termo de maior grau do dividendo pelo termo de maior grau do divisor: dividimos 3x^4 por x^2, obtendo 3x^2. Multiplicamos o divisor e subtraímos do dividendo:
(3x^4+3x^3-5x^2) - 3x^2,(x^2+x-2) = (3x^4+3x^3-5x^2) - (3x^4+3x^3-6x^2) = x^2
Em seguida, trazemos os termos restantes para formar o novo polinômio: x^2 + x -1.

Passo 3

Agora dividimos x^2 por x^2, obtendo +1. Multiplicamos o divisor por 1 e subtraímos do polinômio atual:
(x^2+x-1) - 1,(x^2+x-2) = (x^2+x-1) - (x^2+x-2) = 1
O resto é 1, que tem grau 0 (menor que 2), então paramos aqui.

Passo 4

Logo, o quociente é q(x)=3x^2+1 e o resto é r(x)=1.

Resposta

f(x)=3x2+1+\frac{1}{x2+x-2}

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