Verifique que D=0 nos infinitos pontos críticos da função real: f(x, y)=6 x y+4-9 y^2-x^2; tornando inconclusivo o Teste das derivadas parciais de 2^a ordem. Contudo, mostre apenas analisando sua definição que f(x, y) assume seu valor máximo absoluto em seus pontos críticos;

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=6xy+4−9y²−x², que é um polinômio de segundo grau em x e y. Precisamos mostrar que, apesar do teste de Hessiano (2ª derivadas) ser inconclusivo porque D=0 nos pontos críticos, f assume seu valor máximo absoluto nesses pontos, usando apenas definição de máximo.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais: ∂f/∂x=6y−2x e ∂f/∂y=6x−18y. Igualando a zero para achar os pontos críticos, temos o sistema 6y−2x=0 e 6x−18y=0, que reduz a x=3y. Logo, os pontos críticos são todos os pares (x,y) tais que x=3y, isto é, uma reta infinita de pontos.

Passo 3

Para aplicar o teste das derivadas de 2ª ordem, calculamos as derivadas segundas: f_{xx}=∂²f/∂x²=−2, f_{yy}=∂²f/∂y²=−18 e f_{xy}=∂²f/∂x∂y=6. O determinante do Hessiano é D=f_{xx}·f_{yy}−(f_{xy})²=(−2)(−18)−6²=36−36=0. Como D=0, o teste é inconclusivo.

Passo 4

Para contornar isso, completamos o quadrado na expressão de f. Reescrevemos f(x,y) como f(x,y)=−x²+6xy−9y²+4=−(x²−6xy+9y²)+4=−(x−3y)²+4. Dessa forma, vemos diretamente que f(x,y)≤4 para todos (x,y), e que a igualdade f(x,y)=4 ocorre exatamente quando x−3y=0, ou seja, nos pontos críticos.

Passo 5

Assim, pelo raciocínio direto da forma quadrática, mostramos que f atinge seu valor máximo absoluto f=4 em todos os pontos críticos (x=3y, y∈ℝ).

Resposta

f assume seu valor máximo absoluto igual a 4 nos pontos críticos dados por x=3y.

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