Considere a função
Calcule a derivada direcional de
no ponto
e na direção do vetor
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada direcional da função
no ponto
e na direção do vetor
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, como derivadas parciais e o conceito de derivada direcional.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
. As derivadas parciais nos dizem como a função muda quando a gente varia apenas uma das variáveis, mantendo a outra constante.
Passo 3
Agora, vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto
:
Passo 4
Em seguida, precisamos normalizar o vetor
. A normalização transforma o vetor em um vetor unitário na mesma direção, o que é importante para calcular a derivada direcional.
Primeiro, calculamos o comprimento (magnitude) do vetor:
Então, o vetor unitário na direção de
é:
Passo 5
Agora, usamos a fórmula da derivada direcional, que é o produto escalar do gradiente de
com o vetor unitário
:
Substituindo os valores que já encontramos:
Resposta
A derivada direcional de
no ponto
na direção de
é
.