Considere a função
f(x, y)=x^3-3 x+y^3-3 y
Calcule a derivada direcional de f no ponto (1,0) e na direção do vetor lang<= 1,2rang<=.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada direcional da função f(x, y) = x^3 - 3x + y^3 - 3y no ponto (1, 0) e na direção do vetor lang<= 1, 2 rang<= . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, como derivadas parciais e o conceito de derivada direcional.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de f em relação a x e y . As derivadas parciais nos dizem como a função muda quando a gente varia apenas uma das variáveis, mantendo a outra constante.
fx(x, y) = partial fpartial x = 3x^2 - 3
fy(x, y) = partial fpartial y = 3y^2 - 3

Passo 3

Agora, vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto (1, 0) :
fx(1, 0) = 3(1)^2 - 3 = 3 - 3 = 0
fy(1, 0) = 3(0)^2 - 3 = 0 - 3 = -3

Passo 4

Em seguida, precisamos normalizar o vetor lang<= 1, 2 rang<= . A normalização transforma o vetor em um vetor unitário na mesma direção, o que é importante para calcular a derivada direcional.
Primeiro, calculamos o comprimento (magnitude) do vetor:
|lang<= 1, 2 rang<=| = raiz1^2 + 2^2 = raiz1 + 4 = raiz5
Então, o vetor unitário na direção de lang<= 1, 2 rang<= é:
u = lang<= 1raiz5, 2raiz5 rang<=

Passo 5

Agora, usamos a fórmula da derivada direcional, que é o produto escalar do gradiente de f com o vetor unitário u :
Du f(1, 0) = fx(1, 0) cdot 1raiz5 + fy(1, 0) cdot 2raiz5
Substituindo os valores que já encontramos:
Du f(1, 0) = 0 cdot 1raiz5 + (-3) cdot 2raiz5 = 0 - 6raiz5 = -6raiz5

Resposta

A derivada direcional de f no ponto (1, 0) na direção de lang<= 1, 2 rang<= é -dfrac6raiz5 .

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