como uma única integral dupla sobre uma região (de tipo I) e calcule a integral.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente combinar duas integrais duplas em uma só sobre uma mesma região e depois calcular essa integral. Estamos lidando com cálculo de integrais duplas, que é uma parte da matemática que ajuda a encontrar o volume sob uma superfície. Para resolver, vamos precisar entender como as regiões de integração estão definidas e como juntar essas áreas em uma única integral.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar as duas integrais que temos:
Aqui, na primeira integral, vai de 0 a 1 e, para cada , vai de 0 até . Na segunda integral, vai de 1 a 3 e, para cada , vai de 0 até . A gente precisa juntar essas duas integrais em uma só.
Passo 3
Vamos desenhar isso pra visualizar melhor. Imagine um sistema de coordenadas . Para entre 0 e 1, vai de 0 a . Isso forma uma área triangular crescente. Para entre 1 e 3, vai de 0 a , formando uma área triangular decrescente. Juntas, essas áreas formam uma região única que podemos descrever com variando de 0 a 3.
Passo 4
Agora, queremos escrever uma única integral dupla que cubra toda essa região. Observando as duas partes, vemos que para [y) entre 0 e 1, o limite superior de é , e para entre 1 e 3, o limite superior de é . Então, podemos escrever a integral combinada como:
onde ( f(y) = ]
Passo 5
Para facilitar o cálculo, vamos dividir essa única integral em duas partes novamente, mas agora como uma única expressão integrada de y de 0 a 3:
integral0^1 integral0^2y e^x^2 , dx , dy + integral1^3 integral0^3 - y e^x^2 , dx , dy
Isso nos permite manter a mesma lógica do enunciado, mas agora em uma única expressão integrada.
Passo 6
Agora, vamos tentar calcular a integral. Como e^x^2 não tem uma antiderivada elementar, usamos uma aproximação ou reconhecemos que ela está relacionada à função erro ( erf(x) ). A função erro é definida como:
erf(x) = 2raizpi integral0^x e^-t^2 , dt
No nosso caso, precisamos adaptar para e^x^2 , mas isso envolve funções mais avançadas. Portanto, para simplificar, vamos calcular numericamente a integral.