Considere a função
Determine o(s) ponto(s) de máximo e mínimo locais de
, se existirem.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente tem uma função de duas variáveis:
E precisa descobrir se essa função tem pontos de máximo ou mínimo locais. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, como derivadas parciais e o teste da segunda derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos são onde as derivadas parciais em relação a
e
são iguais a zero. Ou seja, precisamos calcular
e
.
Passo 3
Calculando a derivada parcial em relação a
:
E a derivada parcial em relação a
:
Passo 4
Agora, igualamos essas derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:
Então, os possíveis pontos críticos são
,
,
e
.
Passo 5
Para determinar se cada ponto crítico é um máximo, mínimo ou ponto de sela, vamos usar o teste da segunda derivada. Precisamos calcular as segundas derivadas parciais:
Passo 6
O discriminante é dado por:
Vamos avaliar
e
em cada ponto crítico:
- Ponto
:
Como
e
, é um mínimo local.
- Ponto
:
Como
, é um ponto de sela.
- Ponto
:
Também é um ponto de sela.
- Ponto
:
Como
e
, é um máximo local.
Resposta
A função
tem um ponto de mínimo local em
e um ponto de máximo local em
. Os pontos
e
são pontos de sela.