Considere a função
f(x, y)=x^3-3 x+y^3-3 y
Determine o(s) ponto(s) de máximo e mínimo locais de f, se existirem.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente tem uma função de duas variáveis:
f(x, y) = x^3 - 3x + y^3 - 3y
E precisa descobrir se essa função tem pontos de máximo ou mínimo locais. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, como derivadas parciais e o teste da segunda derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos são onde as derivadas parciais em relação a x e y são iguais a zero. Ou seja, precisamos calcular partial fpartial x e partial fpartial y.

Passo 3

Calculando a derivada parcial em relação a x:
partial fpartial x = 3x^2 - 3
E a derivada parcial em relação a y:
partial fpartial y = 3y^2 - 3

Passo 4

Agora, igualamos essas derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:
3x^2 - 3 = 0 Rightarrow x^2 = 1 Rightarrow x = pm 1
3y^2 - 3 = 0 Rightarrow y^2 = 1 Rightarrow y = pm 1
Então, os possíveis pontos críticos são (1,1), (1,-1), (-1,1) e (-1,-1).

Passo 5

Para determinar se cada ponto crítico é um máximo, mínimo ou ponto de sela, vamos usar o teste da segunda derivada. Precisamos calcular as segundas derivadas parciais:
fxx = partial^2 fpartial x^2 = 6x
fyy = partial^2 fpartial y^2 = 6y
fxy = fyx = partial^2 fpartial x partial y = 0

Passo 6

O discriminante é dado por:
D = fxx cdot fyy - (fxy)^2 = (6x)(6y) - 0 = 36xy
Vamos avaliar D e fxx em cada ponto crítico:
  1. Ponto (1,1):
D = 36 cdot 1 cdot 1 = 36 > 0 e fxx = 6 cdot 1 = 6 > 0
Como D > 0 e fxx > 0, é um mínimo local.
  1. Ponto (1,-1):
D = 36 cdot 1 cdot (-1) = -36 < 0
Como D < 0, é um ponto de sela.
  1. Ponto (-1,1):
D = 36 cdot (-1) cdot 1 = -36 < 0
Também é um ponto de sela.
  1. Ponto (-1,-1):
D = 36 cdot (-1) cdot (-1) = 36 > 0 e fxx = 6 cdot (-1) = -6 < 0
Como D > 0 e fxx < 0, é um máximo local.

Resposta

A função f(x, y) tem um ponto de mínimo local em (1,1) e um ponto de máximo local em (-1,-1). Os pontos (1,-1) e (-1,1) são pontos de sela.

Exercícios relacionados