1. Considere a função Calcule, se existir, .

Passo 1

O enunciado nos dá a função por partes
f(x)= x^2,&x>=1, 2,&x<1,
e pede f'(1). Como a função muda de expressão em x=1, usamos a definição de derivada por limites laterais:
f'(1)=limhto0f(1+h)-f(1)h,
se esse limite existir.

Passo 2

Primeiro, calculamos f(1). Como 1>=1, usamos o ramo x^2, logo
f(1)=1^2=1

Passo 3

Agora o limite à direita ( hto0^+). Para h>0 pequeno, 1+h>=1 e
f(1+h)=(1+h)^2=1+2h+h^2
O quociente de diferença é
f(1+h)-f(1)h =(1+2h+h^2)-1h =2h+h^2h =2+h,
que tende a 2 quando hto0^+. Logo
f'(1^+)=2

Passo 4

Agora o limite à esquerda ( hto0^-). Para h<0 pequeno, 1+h<1 e
f(1+h)=2
O quociente de diferença fica
f(1+h)-f(1)h =2-1h =1h,
que não tem limite finito quando hto0^- (tende a -infty). Logo
f'(1^-) não existe como número real ãú

Passo 5

Como as derivadas laterais não coincidem ( f'(1^+)=2neq f'(1^-)), concluímos que f'(1) não existe.

Resposta

A derivada f'(1) não existe.

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