- Considere a função Calcule, se existir,
.
Passo 1
O enunciado nos dá a função por partes
e pede
f'(1) . Como a função muda de expressão em
x=1 , usamos a definição de derivada por limites laterais:
se esse limite existir.
Passo 2
Primeiro, calculamos
f(1) . Como
1>=1 , usamos o ramo
x^2 , logo
Passo 3
Agora o limite à direita (
hto0^+ ). Para
h>0 pequeno,
1+h>=1 e
O quociente de diferença é
que tende a
2 quando
hto0^+ . Logo
Passo 4
Agora o limite à esquerda (
hto0^- ). Para
h<0 pequeno,
1+h<1 e
O quociente de diferença fica
que não tem limite finito quando
hto0^- (tende a
-infty ). Logo
Passo 5
Como as derivadas laterais não coincidem (
f'(1^+)=2neq f'(1^-) ), concluímos que
f'(1) não existe.
Resposta
A derivada
f'(1) não existe.