Verifique que
é uma função limitada.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a função
é limitada, ou seja, existe uma constante
tal que
para todo
. Para isso vamos usar desigualdades simples e dividir o domínio em dois casos:
e
.
Passo 2
Considere
. Nesse caso
Além disso,
Logo, para
lvert xrvert<=1 vale
Passo 3
Agora considere
lvert xrvert>=1 . Tem-se
Como
lvert xrvert^-k<=1 para todo
k>0 quando
lvert xrvert>=1 , segue
Passo 4
Dos Passos 2 e 3 concluímos que em todo real
x vale
lvert f(x)rvert<=16 . Portanto podemos tomar
M=16 como cota superior.
Resposta
A função
f é limitada, pois