Verifique que f(x)=3 x^3-6 x^2+7x^6+x^4+1 é uma função limitada.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função
f(x)=3x^3-6x^2+7x^6+x^4+1
é limitada, ou seja, existe uma constante M>0 tal que lvert f(x)rvert<= M para todo xinR. Para isso vamos usar desigualdades simples e dividir o domínio em dois casos: lvert xrvert<=1 e lvert xrvert>=1.

Passo 2

Considere lvert xrvert<=1. Nesse caso
x^6+x^4+1>=1 Longrightarrow lvert f(x)rvert =llvert3x^3-6x^2+7rrvertx^6+x^4+1 <=llvert3x^3-6x^2+7rrvert
Além disso,
llvert3x^3-6x^2+7rrvert <=3lvert xrvert^3+6lvert xrvert^2+7 <=3cdot1+6cdot1+7=16
Logo, para lvert xrvert<=1 vale
lvert f(x)rvert<=16

Passo 3

Agora considere lvert xrvert>=1. Tem-se
x^6+x^4+1>= x^6 Longrightarrow lvert f(x)rvert <=3lvert xrvert^3+6lvert xrvert^2+7lvert xrvert^6 =3lvert xrvert^-3+6lvert xrvert^-4+7lvert xrvert^-6
Como lvert xrvert^-k<=1 para todo k>0 quando lvert xrvert>=1, segue
lvert f(x)rvert<=3+6+7=16

Passo 4

Dos Passos 2 e 3 concluímos que em todo real x vale lvert f(x)rvert<=16. Portanto podemos tomar M=16 como cota superior.

Resposta

A função f é limitada, pois
lvert f(x)rvert<=16 forall,xinR

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