Considere a função T: R^3 R^2 ; T(x, y, z)=(x+y, y-z).
Calcule o núcleo N u c(T).

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos a transformação linear Tcolon R^3toR^2 dada por T(x,y,z)=(x+y,y-z) e queremos encontrar o núcleo de T, ou seja, o conjunto de vetores que são enviados ao vetor nulo em R^2.

Passo 2

Pela definição de núcleo, resolvemos T(x,y,z)=(0,0). Isso gera as equações
x+y=0
e
y-z=0

Passo 3

Da primeira equação segue x=-y. Da segunda segue z=y. Definindo o parâmetro t=y, obtemos a forma geral
(x,y,z)=(-t,t,t), tinR

Passo 4

Em notação de subespaço, isso significa que
Nuc(T)=t(-1,1,1)mid tinR,
que é a reta de R^3 gerada por (-1,1,1).

Resposta

Nuc(T)=t(-1,1,1)mid tinR.

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