Considere a função T: R^3 R^2 ; T(x, y, z)=(x+y, y-z).
Calcule a dimensão de I m(T), isto é, dim I m(T). Neste caso, T é sobrejetora? Justifique. (DICA: use o Teorema do núcleo e da imagem)

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
;TcolonR^3toR^2 dada por
T(x,y,z) = (,x+y,;y-z,)
Pede-se diml(Im(T)r) e verificar se T é sobrejetora. Vamos usar o Teorema do Núcleo e da Imagem, que diz
diml(ker Tr)+diml(ImTr)=dim(R^3)=3

Passo 2

Para encontrar
Dessas equações vem , logo
Assim
portanto .

Passo 3

Pelo Teorema do Núcleo e da Imagem,
diml(ker Tr)+diml(ImTr)=3 ;Longrightarrow; 1 + diml(ImTr)=3 ;Longrightarrow; diml(ImTr)=2

Passo 4

O contradomínio R^2 tem dimensão 2. Como diml(ImTr)=2, igual à dimensão de R^2, concluímos que ImT=R^2. Assim T é sobrejetora.

Resposta

diml(Im(T)r)=2
Sim, T é sobrejetora.

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