Considere a função .
Calcule a dimensão do , isto é, . Neste caso, é injetora? Justifique.
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear definida por
Queremos calcular e verificar se é injetora. Vamos usar o Teorema Núcleo–Imagem (Teorema da Dimensão).
Passo 2
Na base canônica, a matriz de é
O posto de A é o número de linhas (ou colunas) linearmente independentes. As linhas (1,1,0) e (0,1,-1) não são múltiplos uma da outra, então
rank(T)=2
Passo 3
Pelo Teorema Núcleo–Imagem temos
dimker(T) + dimIm(T) = dimR^3 = 3
Como dimIm(T)=rank(T)=2, segue que
dimker(T) = 3 - 2 = 1
Passo 4
Uma transformação linear é injetora se, e somente se, ker(T)=0, isto é, dimker(T)=0. Aqui achamos dimker(T)=1>0, o que significa que existem vetores não nulos no núcleo. Por exemplo,
T(-1,1,1) = ((-1)+1,;1-1) = (0,0),
logo (-1,1,1)inker(T) e T não é injetora.
Resposta
A dimensão do núcleo de T é 1. Portanto T não é injetora.