Considere a função T: R^3 R^2 ; T(x, y, z)=(x+y, y-z).
Calcule a dimensão do N u c(T), isto é, dim N u c(T). Neste caso, T é injetora? Justifique.

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear T:R^3toR^2 definida por
T(x,y,z) = (,x+y,;y-z,)
Queremos calcular dimker(T) e verificar se T é injetora. Vamos usar o Teorema Núcleo–Imagem (Teorema da Dimensão).

Passo 2

Na base canônica, a matriz de T é
A = 1 & 1 & 0 0 & 1 & -1
O posto de A é o número de linhas (ou colunas) linearmente independentes. As linhas (1,1,0) e (0,1,-1) não são múltiplos uma da outra, então
rank(T)=2

Passo 3

Pelo Teorema Núcleo–Imagem temos
dimker(T) + dimIm(T) = dimR^3 = 3
Como dimIm(T)=rank(T)=2, segue que
dimker(T) = 3 - 2 = 1

Passo 4

Uma transformação linear é injetora se, e somente se, ker(T)=0, isto é, dimker(T)=0. Aqui achamos dimker(T)=1>0, o que significa que existem vetores não nulos no núcleo. Por exemplo,
T(-1,1,1) = ((-1)+1,;1-1) = (0,0),
logo (-1,1,1)inker(T) e T não é injetora.

Resposta

A dimensão do núcleo de T é 1. Portanto T não é injetora.

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