Considere a função T: R^3 R^2 ; T(x, y, z)=(x+y, y-z).
Mostre que T é uma transformação linear.

Passo 1

O enunciado define a aplicação
Tcolon R^3 to R^2, T(x,y,z) = (x+y,;y-z),
e pede para mostrar que T é linear. Para isso, precisamos verificar duas propriedades para todos u,vinR^3 e todo escalar cinR:
  1. T(u+v)=T(u)+T(v) (aditividade)
  2. T(c,u)=c,T(u) (homogeneidade)

Passo 2

Sejam
u=(x1,y1,z1), v=(x2,y2,z2)inR^3
Então
u+v=(x1+x2,;y1+y2,;z1+z2),
e aplicando T temos
T(u+v)=l((x1+x2)+(y1+y2),;(y1+y2)-(z1+z2)r)
Agrupando termos,
T(u+v)=l(x1+y1,;y1-z1r)+l(x2+y2,;y2-z2r) =T(u)+T(v),
logo a aditividade está verificada.

Passo 3

Seja cinR e u=(x1,y1,z1). Então
c,u=(c,x1,;c,y1,;c,z1)
e
T(c,u)=l(c,x1+c,y1,;c,y1-c,z1r) =c,(x1+y1,;y1-z1) =c,T(u)
Assim, a homogeneidade também está verificada.

Resposta

Como T satisfaz
T(u+v)=T(u)+T(v) e T(c,u)=c,T(u),
concluímos que T é uma transformação linear.

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