Considere a função f(x, y, z)=x cdot zx^2+y^2+1 e a reta de equação paramétrica (parâmetro t)
r(t)=x(t) i+y(t) j+z(t) k=t i+(t-1) j+(1-2 t) k
calcule o gradiente da função f,

Passo 1

A gente tem a função f(x,y,z)=x,zx^2+y^2+1 e o problema pede o gradiente nabla f, ou seja, as derivadas parciais em relação a x, y e z. Para isso vamos usar a regra do quociente e os conceitos de derivada parcial.

Passo 2

Primeiro identificamos numerador e denominador: definimos N(x,y,z)=x,z e D(x,y,z)=x^2+y^2+1. A regra do quociente diz que
partial fpartial x=partial Npartial x,D - N,partial Dpartial xD^2
Como partial Npartial x=z e partial Dpartial x=2x, temos
$$\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{z,(x2+y2+1) - xz,(2x)}{(x2+y2+1)^2} = \frac{z(y^2+1 - x2)}{(x2+y2+1)2}.
$$

Passo 3

Para y, a regra é análoga. Aqui partial Npartial y=0 e partial Dpartial y=2y, então
$$\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{0\cdot D - xz,(2y)}{D^2} = -\frac{2,x,y,z}{(x2+y2+1)^2}.
$$

Passo 4

Para z, temos partial Npartial z=x e partial Dpartial z=0. Logo,
$$\frac{\partial f}{\partial z}=\frac{x,(x2+y2+1) - xz\cdot0}{(x2+y2+1)^2} = \frac{x}{x2+y2+1}.
$$

Passo 5

Juntando as três derivadas parciais no vetor gradiente, chegamos a expressão de nabla f.

Resposta

[\nabla f(x,y,z)=\biggl(\frac{z(y^2+1 - x2)}{(x2+y2+1)2},,-\frac{2xyz}{(x2+y2+1)2},,\frac{x}{x2+y^2+1}\biggr)]

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