Considere a função
e a reta de equação paramétrica (parâmetro t)
calcule o gradiente da função f,
Passo 1
A gente tem a função
e o problema pede o gradiente
, ou seja, as derivadas parciais em relação a
,
e
. Para isso vamos usar a regra do quociente e os conceitos de derivada parcial.
Passo 2
Primeiro identificamos numerador e denominador: definimos
e
. A regra do quociente diz que
Como
$$\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{z,(x2+y2+1) - xz,(2x)}{(x2+y2+1)^2} = \frac{z(y^2+1 - x2)}{(x2+y2+1)2}.
$$
Passo 3
Para
, a regra é análoga. Aqui
e
, então
$$\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{0\cdot D - xz,(2y)}{D^2} = -\frac{2,x,y,z}{(x2+y2+1)^2}.
$$
Passo 4
Para
, temos
e
. Logo,
$$\frac{\partial f}{\partial z}=\frac{x,(x2+y2+1) - xz\cdot0}{(x2+y2+1)^2} = \frac{x}{x2+y2+1}.
$$
Passo 5
Juntando as três derivadas parciais no vetor gradiente, chegamos a expressão de
.
Resposta
[\nabla f(x,y,z)=\biggl(\frac{z(y^2+1 - x2)}{(x2+y2+1)2},,-\frac{2xyz}{(x2+y2+1)2},,\frac{x}{x2+y^2+1}\biggr)]