Seja C a circunferência de raio 3 dada por r(t)=3 cos t i+3 sin t j, 0 <= t <= 2 pi. Calcule a integral de linha (2,0 pontos)
integralC y^3 d x+(x^3+3 x y^2) d y

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de linha sobre a circunferência $ C $ de raio 3, dada pela parametrização $ r(t) = 3 \cos t , \mathbf{i} + 3 \sin t , \mathbf{j} $, onde $ 0 \leq t \leq 2\pi $. A integral que precisamos resolver é:
C
Para resolver isso, vamos usar o teorema de Green, que relaciona uma integral de linha ao longo de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região interna a essa curva. Vamos precisar entender um pouco sobre integrais de linha e o teorema de Green para seguir adiante.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções $ P(x, y) $ e $ Q(x, y) $ na nossa integral de linha. A integral está na forma:
P(x, y)
Comparando com a integral dada, temos:
Q(x, y)
integralC P , dx + Q , dy

Passo 3

Agora, aplicando o teorema de Green, sabemos que:
ointC P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) , dx , dy
Onde $ D $ é a região interna à curva $ C $. Vamos calcular as derivadas parciais necessárias.

Passo 4

Calculando $ \frac{\partial Q}{\partial x} $:
partial Qpartial x
E calculando $ \frac{\partial P}{\partial y} $:
partial Qpartial x = partialpartial x ( x^3 + 3x y^2 ) = 3x^2 + 3y^2

Passo 5

Subtraindo essas derivadas conforme o teorema de Green:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = 3x^2 + 3y^2 - 3y^2 = 3x^2
Então, nossa integral dupla fica:
integral duplaD 3x^2 , dx , dy

Passo 6

Para facilitar o cálculo, vamos mudar para coordenadas polares, já que a região $ D $ é um círculo de raio 3. Lembrando que em coordenadas polares:
D
x = r cos theta
y = r sin theta
Substituindo na integral:
dx , dy = r , dr , dtheta

Passo 7

Simplificando a expressão dentro da integral:
3 (r cos theta)^2 cdot r = 3 r^3 cos^2 theta
Então, a integral se torna:
integral0^2pi integral0^3 3 r^3 cos^2 theta , dr , dtheta

Passo 8

Vamos primeiro integrar em relação a $ r $:
r

Passo 9

Agora, integramos em relação a $ \theta $:
theta
Sabemos que:
2434 integral0^2pi cos^2 theta , dtheta
Então, substituindo:
integral0^2pi cos^2 theta , dtheta = pi

Resposta

A integral de linha é igual a $ \dfrac{243,\pi}{4} $.

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