Seja
a circunferência de raio 3 dada por
. Calcule a integral de linha (2,0 pontos)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de linha sobre a circunferência $ C $ de raio 3, dada pela parametrização $ r(t) = 3 \cos t , \mathbf{i} + 3 \sin t , \mathbf{j} $, onde $ 0 \leq t \leq 2\pi $. A integral que precisamos resolver é:
Para resolver isso, vamos usar o teorema de Green, que relaciona uma integral de linha ao longo de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região interna a essa curva. Vamos precisar entender um pouco sobre integrais de linha e o teorema de Green para seguir adiante.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções $ P(x, y) $ e $ Q(x, y) $ na nossa integral de linha. A integral está na forma:
Comparando com a integral dada, temos:
Passo 3
Agora, aplicando o teorema de Green, sabemos que:
Onde $ D $ é a região interna à curva $ C $. Vamos calcular as derivadas parciais necessárias.
Passo 4
Calculando $ \frac{\partial Q}{\partial x} $:
E calculando $ \frac{\partial P}{\partial y} $:
Passo 5
Subtraindo essas derivadas conforme o teorema de Green:
Então, nossa integral dupla fica:
Passo 6
Para facilitar o cálculo, vamos mudar para coordenadas polares, já que a região $ D $ é um círculo de raio 3. Lembrando que em coordenadas polares:
Substituindo na integral:
Passo 7
Simplificando a expressão dentro da integral:
Então, a integral se torna:
Passo 8
Vamos primeiro integrar em relação a $ r $:
Passo 9
Agora, integramos em relação a $ \theta $:
Sabemos que:
Então, substituindo:
Resposta
A integral de linha é igual a $ \dfrac{243,\pi}{4} $.