Para a função f(x, y)=y^2-x^2
Faça um esboço das curvas de nível -1, 0 e 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa fazer o esboço das curvas de nível para a função nos níveis , e . Aqui, estamos trabalhando com curvas de nível, que são aquelas linhas que representam pontos no plano onde a função assume um valor constante. Para resolver isso, vamos utilizar conhecimentos de geometria analítica, principalmente sobre as formas das equações quadráticas no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são curvas de nível. Para uma função de duas variáveis, , uma curva de nível para um valor é o conjunto de pontos que satisfazem a equação . Ou seja, estamos procurando todas as combinações de e que fazem a função igual a esse valor específico.

Passo 3

Vamos começar com o nível y^2 - x^2 = -1 . Substituindo na função, temos:
y^2 = x^2 - 1
Podemos rearranjar essa equação para facilitar a identificação da curva:
Essa é a equação de uma hipérbole. As hipérboles são curvas que têm duas ramos, que se afastam indefinidamente. No caso dessa equação, a hipérbole está centrada na origem e abre-se ao longo do eixo , porque o termo positivo está associado a .

Passo 4

Agora, vamos para o nível y^2 - x^2 = 0 . Substituindo na função:
y^2 = x^2
Rearranjando:
y = x e y = -x
Isso nos dá duas soluções:
Essas são duas retas que passam pela origem, formando um “X”. Essas retas correspondem aos asíntotas das hipérboles que encontramos nos outros níveis.

Passo 5

Por último, vamos analisar o nível y^2 - x^2 = 1 . Substituindo na função:
y^2 = x^2 + 1
Rearranjando:
Também se trata de uma hipérbole, mas dessa vez, a abertura está ao longo do eixo . Isso ocorre porque o termo positivo está associado a , indicando que os ramos da hipérbole se abrem para cima e para baixo.

Passo 6

Agora que identificamos as curvas para cada nível, podemos esboçar o gráfico:
  1. Para , desenhe uma hipérbole que se abre ao longo do eixo .
  2. Para , trace as retas e , que servem como orientações para as hipérboles.
  3. Para , desenhe uma hipérbole que se abre ao longo do eixo .

Resposta

As curvas de nível para a função nos níveis , e são duas hipérboles que se abrem respectivamente ao longo dos eixos e , e duas retas formando um “X” para o nível zero. O esboço consiste em desenhar essas hipérboles e retas no plano cartesiano conforme descrito.

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