Para a função
Faça um esboço das curvas de nível -1, 0 e 1.
Faça um esboço das curvas de nível -1, 0 e 1.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa fazer o esboço das curvas de nível para a função
nos níveis
,
e
. Aqui, estamos trabalhando com curvas de nível, que são aquelas linhas que representam pontos no plano onde a função assume um valor constante. Para resolver isso, vamos utilizar conhecimentos de geometria analítica, principalmente sobre as formas das equações quadráticas no plano.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são curvas de nível. Para uma função de duas variáveis,
, uma curva de nível para um valor
é o conjunto de pontos
que satisfazem a equação
. Ou seja, estamos procurando todas as combinações de
e
que fazem a função igual a esse valor específico.
Passo 3
Vamos começar com o nível
. Substituindo na função, temos:
Podemos rearranjar essa equação para facilitar a identificação da curva:
Essa é a equação de uma hipérbole. As hipérboles são curvas que têm duas ramos, que se afastam indefinidamente. No caso dessa equação, a hipérbole está centrada na origem e abre-se ao longo do eixo
, porque o termo positivo está associado a
.
Passo 4
Agora, vamos para o nível
. Substituindo na função:
Rearranjando:
Isso nos dá duas soluções:
Essas são duas retas que passam pela origem, formando um “X”. Essas retas correspondem aos asíntotas das hipérboles que encontramos nos outros níveis.
Passo 5
Por último, vamos analisar o nível
. Substituindo na função:
Rearranjando:
Também se trata de uma hipérbole, mas dessa vez, a abertura está ao longo do eixo
. Isso ocorre porque o termo positivo está associado a
, indicando que os ramos da hipérbole se abrem para cima e para baixo.
Passo 6
Agora que identificamos as curvas para cada nível, podemos esboçar o gráfico:
- Para
, desenhe uma hipérbole que se abre ao longo do eixo . - Para
, trace as retas e , que servem como orientações para as hipérboles. - Para
, desenhe uma hipérbole que se abre ao longo do eixo .
Resposta
As curvas de nível para a função
nos níveis
,
e
são duas hipérboles que se abrem respectivamente ao longo dos eixos
e
, e duas retas formando um “X” para o nível zero. O esboço consiste em desenhar essas hipérboles e retas no plano cartesiano conforme descrito.