Considere o campo de força central
em que
é uma função derivável e
. Calcule
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o rotacional (ou “rot”) do campo de força central
, onde
. Aqui, estamos lidando com cálculo vetorial, especificamente com o conceito de campos vetoriais e o rotacional. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o rotacional de um campo vetorial em duas dimensões.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular o rotacional em duas dimensões. O rotacional de um campo vetorial
é dado por:
Então, nosso objetivo é identificar as componentes
e
do campo
e depois calcular essas derivadas parciais.
Passo 3
Vamos identificar as componentes
e
do campo
. Sabemos que
, então:
Portanto:
Passo 4
Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias para o rotacional. Primeiro, calculamos
:
Note que
é tratado como constante em relação a
, então:
Simplificando:
Passo 5
Agora, calculamos
:
Aqui,
é constante em relação a
, então:
Simplificando:
Passo 6
Agora, aplicamos a fórmula do rotacional:
Substituindo os valores que encontramos:
Resposta
O rotacional do campo de força central
é zero, ou seja: