(1,0) Considere o campo de força central g(x, y)=f(|r|) r em que f R R é uma função derivável e r=x i+y j. Calcule rot(g).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o rotacional (ou “rot”) do campo de força central g(x, y) = f(|r|) r, onde r = x i + y j. Aqui, estamos lidando com cálculo vetorial, especificamente com o conceito de campos vetoriais e o rotacional. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o rotacional de um campo vetorial em duas dimensões.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o rotacional em duas dimensões. O rotacional de um campo vetorial F = P(x, y) i + Q(x, y) j é dado por:
rot(F) = partial Qpartial x - partial Ppartial y
Então, nosso objetivo é identificar as componentes P e Q do campo g e depois calcular essas derivadas parciais.

Passo 3

Vamos identificar as componentes P e Q do campo g(x, y) = f(|r|) r. Sabemos que r = x i + y j, então:
g(x, y) = f(raizx^2 + y^2) (x i + y j)
Portanto:
P(x, y) = f(raizx^2 + y^2) cdot x

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias para o rotacional. Primeiro, calculamos partial Qpartial x:
partial Qpartial x = partialpartial x [ f(raizx^2 + y^2) cdot y ]
Note que y é tratado como constante em relação a x, então:
partial Qpartial x = y cdot ddx f(raizx^2 + y^2) = y cdot f'(raizx^2 + y^2) cdot xraizx^2 + y^2
Simplificando:
partial Qpartial x = x y f'(raizx^2 + y^2)raizx^2 + y^2

Passo 5

Agora, calculamos partial Ppartial y:
partial Ppartial y = partialpartial y [ f(raizx^2 + y^2) cdot x ]
Aqui, x é constante em relação a y, então:
partial Ppartial y = x cdot ddy f(raizx^2 + y^2) = x cdot f'(raizx^2 + y^2) cdot yraizx^2 + y^2
Simplificando:
partial Ppartial y = x y f'(raizx^2 + y^2)raizx^2 + y^2

Passo 6

Agora, aplicamos a fórmula do rotacional:
rot(g) = partial Qpartial x - partial Ppartial y
Substituindo os valores que encontramos:
rot(g) = x y f'(raizx^2 + y^2)raizx^2 + y^2 - x y f'(raizx^2 + y^2)raizx^2 + y^2 = 0

Resposta

O rotacional do campo de força central g(x, y) é zero, ou seja:
rot(g) = 0

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