Considere a função f(x, y, z)=x cdot zx^2+y^2+1 e a reta de equação paramétrica (parâmetro t)
r(t)=x(t) i+y(t) j+z(t) k=t i+(t-1) j+(1-2 t) k
considere a função composta f(x(t), y(t), z(t) ), que representa os valores da função f ao longo da reta r(t). Calcule a derivada df/dt e avalie esta derivada no ponto (1, 0,-1 )

Passo 1

O enunciado pede pra gente levar a função de três variáveis f(x,y,z)=xcdot zx^2+y^2+1 ao longo da reta paramétrica r(t)=(t,,t-1,,1-2t), ou seja, estudar a composição f(r(t)), e depois calcular tfracdfdt e avaliá-la no ponto (1,0,-1). Aqui usamos conteúdo de derivada de função composta (regra da cadeia) e regra do quociente.

Passo 2

Substituímos x=t, y=t-1 e z=1-2t em f. Assim
f(t)=f(r(t))=t,(1-2t)t^2+(t-1)^2+1
Para simplificar o denominador note que
t^2+(t-1)^2+1=2l(t^2-t+1r)
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f(t)=t-2t^22(t^2-t+1)

Passo 3

Agora aplicamos a regra do quociente l(tfracNDr)'=(N'D-ND')/D^2. Chamando
N(t)=t-2t^2, N'(t)=1-4t
D(t)=2(t^2-t+1), D'(t)=2(2t-1)=4t-2
ficamos com
f'(t)=(1-4t),2(t^2-t+1)-(t-2t^2)(4t-2)l[2(t^2-t+1)r]^2

Passo 4

Desenvolvendo e simplificando chega-se a
f'(t)=t^2-4t+12,(t^2-t+1)^2

Passo 5

Para achar o valor em (1,0,-1) vemos que isso corresponde a t=1. Substituindo em f'(t) obtemos

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