Resolva a EDO
x^2 y^prime prime-7 x y^prime+41 y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de Euler–Cauchy de segunda ordem
x^2y'' -7x y' +41y = 0,
que é uma EDO com coeficientes que variam como potências de x. Para resolver, vamos assumir uma solução do tipo y = x^r e derivar a chamada equação característica.

Passo 2

Assumindo y = x^r, temos
y' = r x^r-1,
y'' = r(r-1)x^r-2
Substituindo na equação original:
x^2l(r(r-1)x^r-2r) -7xl(r x^r-1r) +41x^r = 0
Fatorando x^r (que nunca é zero para x>0), obtemos a equação característica:

Passo 3

Fatorizando dá
r(r-1) -7r +41 = 0
ou seja

Passo 4

Rescrevendo, a equação característica fica
r^2 -8r +41 = 0

Passo 5

Calculamos o discriminante:
De
Como De, as raízes são complexas:

Passo 6

As raízes são
r = 8 pm raiz-1002 = 4 pm 5i

Passo 7

Para raízes complexas r = alpha pm ibeta, a solução geral real é
y(x) = x^alphal(C1cos(betaln x) + C2sin(betaln x)r)
Aqui alpha = 4 e beta = 5.

Passo 8

Substituindo alpha e beta na forma geral, concluímos a solução da EDO.

Resposta

y(x) = x^4l(C1cos(5ln x) + C2sin(5ln x)r)

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