Resolva a EDO
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial de Euler–Cauchy de segunda ordem
que é uma EDO com coeficientes que variam como potências de
. Para resolver, vamos assumir uma solução do tipo
e derivar a chamada equação característica.
Passo 2
Assumindo
, temos
Substituindo na equação original:
Fatorando
(que nunca é zero para
), obtemos a equação característica:
Passo 3
Fatorizando dá
ou seja
Passo 4
Rescrevendo, a equação característica fica
Passo 5
Calculamos o discriminante:
Como
, as raízes são complexas:
Passo 6
As raízes são
Passo 7
Para raízes complexas
, a solução geral real é
Aqui
e
.
Passo 8
Substituindo
e
na forma geral, concluímos a solução da EDO.