Considere a curva dada por r(t)=lang<= 2 t^5, 3 cos (t), e^4 trang<=
(0,5) Determine a derivada de r(t) e encontre o vetor tangente unitário no ponto onde t=0.

Passo 1

Temos a curva vetorial dada por
r(t)=lang<= 2t^5,,3cos(t),,e^4trang<=
O conteúdo aqui é derivada de função vetorial e definição de vetor tangente unitário. Vamos precisar da regra de derivação componente a componente e da fórmula
T(t)=r'(t)|r'(t)|

Passo 2

Aplicando a derivada em cada componente da curva, obtemos
r'(t)=llang<=(2t^5)',,(3cos t)',,(e^4t)'rrang<==lang<=10t^4,,-3sin t,,4e^4trang<=

Passo 3

Agora avaliamos a derivada em t=0:
r'(0)=lang<=10cdot0^4,,-3sin0,,4e^0rang<==lang<=0,,0,,4rang<=

Passo 4

Calculamos a norma de r'(0):
|r'(0)|=raiz0^2+0^2+4^2=4

Passo 5

Finalmente, o vetor tangente unitário em t=0 é
T(0)=r'(0)|r'(0)|=lang<=0,0,4rang<=4=lang<=0,0,1rang<=

Resposta

A derivada é r'(t)=lang<=10t^4,-3sin t,4e^4trang<= e o vetor tangente unitário em t=0 é lang<=0,0,1rang<=.

Exercícios relacionados