Determine a soma dos valores de r para os quais a equação diferencial y^prime+3 y=0 tem uma solução na forma y=e^r t:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a equação diferencial $ y’ + 3y = 0 $ e precisa encontrar a soma dos valores de $ r $ para os quais existe uma solução na forma $ y = e^{rt} $. Para isso, vamos usar conhecimentos de equações diferenciais lineares e substituição de soluções.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a forma da solução proposta: $ y = e^{rt} $. Aqui, $ r $ é uma constante que a gente precisa descobrir. O que vamos fazer é substituir essa forma de $ y $ na equação diferencial e resolver para $ r $.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de $ y $ em relação a $ t $. Se $ y = e^{rt} $, então:
y

Passo 4

Agora, substituímos $ y $ e $ y’ $ na equação diferencial original:
y

Passo 5

Fatorando $ e^{rt} $ da expressão, temos:
e^rt
Como $ e^{rt} $ nunca é zero, a única maneira de essa equação ser verdadeira é se $ r + 3 = 0 $.

Passo 6

Resolvendo $ r + 3 = 0 $ para $ r $:
r + 3 = 0

Resposta

A soma dos valores de $ r $ é r .

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