Determine a soma dos valores de
para os quais a equação diferencial
tem uma solução na forma
:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a equação diferencial $ y’ + 3y = 0 $ e precisa encontrar a soma dos valores de $ r $ para os quais existe uma solução na forma $ y = e^{rt} $. Para isso, vamos usar conhecimentos de equações diferenciais lineares e substituição de soluções.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a forma da solução proposta: $ y = e^{rt} $. Aqui, $ r $ é uma constante que a gente precisa descobrir. O que vamos fazer é substituir essa forma de $ y $ na equação diferencial e resolver para $ r $.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de $ y $ em relação a $ t $. Se $ y = e^{rt} $, então:
Passo 4
Agora, substituímos $ y $ e $ y’ $ na equação diferencial original:
Passo 5
Fatorando $ e^{rt} $ da expressão, temos:
Como $ e^{rt} $ nunca é zero, a única maneira de essa equação ser verdadeira é se $ r + 3 = 0 $.
Passo 6
Resolvendo $ r + 3 = 0 $ para $ r $:
Resposta
A soma dos valores de $ r $ é
.