Considere a função f(x, y, z)=x^3 cdot cos (y)+7 x^2-z^2
Tendo como base o ponto (1,0,2), encontre:
b) A direção e sentido do vetor, para que haja taxa mínima de crescimento da função.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar a função $ f(x, y, z) = x^{3} \cdot \cos(y) + 7x^{2} - z^{2} $ no ponto f(x, y, z) = x^3 cdot cos(y) + 7x^2 - z^2 . Nosso objetivo é encontrar a direção e o sentido do vetor que resulta na taxa mínima de crescimento da função nesse ponto. Para isso, vamos precisar usar gradientes e entender como eles indicam a direção de maior crescimento ou decrescimento da função.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o gradiente da função $ f $. O gradiente é um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função e é formado pelas derivadas parciais em relação a cada variável.
A função dada é:
f
Vamos calcular as derivadas parciais:
  1. Derivada parcial em relação a $ x $:
f(x, y, z) = x^3 cdot cos(y) + 7x^2 - z^2
  1. Derivada parcial em relação a $ y $:
x
  1. Derivada parcial em relação a $ z $:
fx = partial fpartial x = 3x^2 cdot cos(y) + 14x
Então, o gradiente é:
y

Passo 3

Agora, vamos calcular o gradiente no ponto específico (1, 0, 2).
Substituindo $ x = 1 $, $ y = 0 $ e $ z = 2 $:
  1. $ f_x(1, 0, 2) = 3(1)^{2} \cdot \cos(0) + 14(1) = 3 \cdot 1 + 14 = 17 $
  2. $ f_y(1, 0, 2) = -(1)^{3} \cdot \sin(0) = -1 \cdot 0 = 0 $
  3. $ f_z(1, 0, 2) = -2(2) = -4 $
Portanto, o gradiente no ponto x = 1 é:
y = 0

Passo 4

Como o gradiente aponta na direção de maior crescimento da função, para encontrar a direção de mínimo crescimento, ou seja, a direção de maior decréscimo, devemos considerar o vetor oposto ao gradiente.
Então, a direção de mínimo crescimento é o vetor:
-nabla f(1, 0, 2) = (-17, , 0, , 4)

Passo 5

Para expressar essa direção de forma mais clara, geralmente normalizamos o vetor, ou seja, transformamos ele em um vetor unitário (comprimento igual a 1).
Primeiro, calculamos o módulo do vetor (-17, 0, 4):
| v | = raiz(-17)^2 + 0^2 + 4^2 = raiz289 + 0 + 16 = raiz305
Agora, o vetor unitário na direção de mínimo crescimento é:
u = ( -17raiz305, , 0, , 4raiz305 )

Resposta

A direção do vetor para a taxa mínima de crescimento da função no ponto (1, 0, 2) é ( -17raiz305, , 0, , 4raiz305 ), ou seja, o vetor unitário u = ( -17raiz305, , 0, , 4raiz305 ) aponta na direção desejada.

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