Considere a função
Tendo como base o ponto
, encontre:
b) A direção e sentido do vetor, para que haja taxa mínima de crescimento da função.
Tendo como base o ponto
b) A direção e sentido do vetor, para que haja taxa mínima de crescimento da função.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar a função $ f(x, y, z) = x^{3} \cdot \cos(y) + 7x^{2} - z^{2} $ no ponto
. Nosso objetivo é encontrar a direção e o sentido do vetor que resulta na taxa mínima de crescimento da função nesse ponto. Para isso, vamos precisar usar gradientes e entender como eles indicam a direção de maior crescimento ou decrescimento da função.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o gradiente da função $ f $. O gradiente é um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função e é formado pelas derivadas parciais em relação a cada variável.
A função dada é:
Vamos calcular as derivadas parciais:
- Derivada parcial em relação a $ x $:
- Derivada parcial em relação a $ y $:
- Derivada parcial em relação a $ z $:
Então, o gradiente é:
Passo 3
Agora, vamos calcular o gradiente no ponto específico
.
Substituindo $ x = 1 $, $ y = 0 $ e $ z = 2 $:
-
$ f_x(1, 0, 2) = 3(1)^{2} \cdot \cos(0) + 14(1) = 3 \cdot 1 + 14 = 17 $
-
$ f_y(1, 0, 2) = -(1)^{3} \cdot \sin(0) = -1 \cdot 0 = 0 $
-
$ f_z(1, 0, 2) = -2(2) = -4 $
Portanto, o gradiente no ponto
é:
Passo 4
Como o gradiente aponta na direção de maior crescimento da função, para encontrar a direção de mínimo crescimento, ou seja, a direção de maior decréscimo, devemos considerar o vetor oposto ao gradiente.
Então, a direção de mínimo crescimento é o vetor:
Passo 5
Para expressar essa direção de forma mais clara, geralmente normalizamos o vetor, ou seja, transformamos ele em um vetor unitário (comprimento igual a 1).
Primeiro, calculamos o módulo do vetor
:
Agora, o vetor unitário na direção de mínimo crescimento é:
Resposta
A direção do vetor para a taxa mínima de crescimento da função no ponto
é
, ou seja, o vetor unitário
aponta na direção desejada.