Considere a função f(x, y, z)=x^3 cdot cos (y)+7 x^2-z^2
Tendo como base o ponto (1,0,2), encontre:
d) A taxa mínima de crescimento da função f, nesse ponto

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem a função $ f(x, y, z) = x^{3} \cdot \cos(y) + 7x^{2} - z^{2} $ e precisamos encontrar a taxa mínima de crescimento dessa função no ponto $ (1, 0, 2) $. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas parciais e gradiente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a taxa de crescimento de uma função em um ponto. Basicamente, ela nos diz o quanto a função está aumentando ou diminuindo naquele ponto em uma determinada direção. A taxa mínima de crescimento é a menor dessas taxas, ou seja, a direção na qual a função diminui mais rapidamente.

Passo 3

Para encontrar essa taxa, precisamos calcular o gradiente da função no ponto dado. O gradiente é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função e sua magnitude representa a taxa máxima de crescimento. A fórmula do gradiente é:
nabla f = ( partial fpartial x, partial fpartial y, partial fpartial z )

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais de $ f $:
  1. Derivada parcial em relação a $ x $:
f
  1. Derivada parcial em relação a $ y $:
x
  1. Derivada parcial em relação a $ z $:
partial fpartial x = 3x^2 cdot cos(y) + 14x

Passo 5

Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto $ (1, 0, 2) $:
  1. Para $ \frac{\partial f}{\partial x} $ em $ (1, 0, 2) $:
(1, 0, 2)
  1. Para $ \frac{\partial f}{\partial y} $ em $ (1, 0, 2) $:
partial fpartial x
  1. Para $ \frac{\partial f}{\partial z} $ em $ (1, 0, 2) $:
(1, 0, 2)

Passo 6

Então, o gradiente da função no ponto $ (1, 0, 2) $ é:
(1, 0, 2)

Passo 7

A taxa mínima de crescimento corresponde à taxa com a menor inclinação, que ocorre na direção oposta ao gradiente. Para encontrar essa taxa, calculamos o negativo da magnitude do gradiente.
Primeiro, calculamos a magnitude do gradiente:
|nabla f| = raiz17^2 + 0^2 + (-4)^2 = raiz289 + 0 + 16 = raiz305 approx 17,46

Resposta

A taxa mínima de crescimento da função $ f $ no ponto $ (1, 0, 2) $ é aproximadamente -17,46.

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