Considere a função
Tendo como base o ponto
, encontre:
d) A taxa mínima de crescimento da função
, nesse ponto
Tendo como base o ponto
d) A taxa mínima de crescimento da função
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem a função $ f(x, y, z) = x^{3} \cdot \cos(y) + 7x^{2} - z^{2} $ e precisamos encontrar a taxa mínima de crescimento dessa função no ponto $ (1, 0, 2) $. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas parciais e gradiente.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a taxa de crescimento de uma função em um ponto. Basicamente, ela nos diz o quanto a função está aumentando ou diminuindo naquele ponto em uma determinada direção. A taxa mínima de crescimento é a menor dessas taxas, ou seja, a direção na qual a função diminui mais rapidamente.
Passo 3
Para encontrar essa taxa, precisamos calcular o gradiente da função no ponto dado. O gradiente é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função e sua magnitude representa a taxa máxima de crescimento. A fórmula do gradiente é:
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais de $ f $:
- Derivada parcial em relação a $ x $:
- Derivada parcial em relação a $ y $:
- Derivada parcial em relação a $ z $:
Passo 5
Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto $ (1, 0, 2) $:
- Para $ \frac{\partial f}{\partial x} $ em $ (1, 0, 2) $:
- Para $ \frac{\partial f}{\partial y} $ em $ (1, 0, 2) $:
- Para $ \frac{\partial f}{\partial z} $ em $ (1, 0, 2) $:
Passo 6
Então, o gradiente da função no ponto $ (1, 0, 2) $ é:
Passo 7
A taxa mínima de crescimento corresponde à taxa com a menor inclinação, que ocorre na direção oposta ao gradiente. Para encontrar essa taxa, calculamos o negativo da magnitude do gradiente.
Primeiro, calculamos a magnitude do gradiente:
Resposta
A taxa mínima de crescimento da função $ f $ no ponto $ (1, 0, 2) $ é aproximadamente -17,46.