Faça um esboço do gráfico da função:
y=x^3-5 x^2-25 x+125
e encontre os valores de x que nos dão máximo e mínimo locais (raiz da derivada).

Passo 1

A função dada é y = x^3 - 5x^2 - 25x + 125. O conteúdo da matéria é análise de funções polinomiais de grau 3 usando derivadas para encontrar extremos locais. Para resolver vamos precisar calcular a derivada primeira, achar suas raízes, usar a segunda derivada para classificar e, por fim, esboçar o formato geral do gráfico.

Passo 2

Calculamos a derivada primeira da função aplicando a regra do poder em cada termo. Assim obtemos:
y' = 3x^2 - 10x - 25

Passo 3

Para encontrar os pontos críticos, resolvemos a equação 3x^2 - 10x - 25 = 0 usando a fórmula de Bhaskara:
x = 10 pm raiz(-10)^2 - 4 cdot 3 cdot (-25)2 cdot 3 = 10 pm raiz100 + 3006 = 10 pm 206

Passo 4

As soluções são x = -tfrac53 e x = 5. Esses são os candidatos a máximo e mínimo locais.

Passo 5

Para classificar cada ponto, usamos a segunda derivada:
y'' = ddx(3x^2 - 10x - 25) = 6x - 10

Passo 6

Avaliação: em x = -tfrac53 temos y'' = -20 < 0, logo é máximo local; em x = 5 temos y'' = 20 > 0, logo é mínimo local.

Passo 7

No esboço do gráfico destacamos: comportamento para xto -infty e xto +infty (porque é um cubo com coeficiente líder positivo), as raízes da função em x=-5 e x=5 (sendo 5 raiz dupla), e marcamos o máximo local em (-tfrac53,y(-tfrac53)) e o mínimo em (5,0).

Resposta

Os valores de x que dão máximo local são x = -5/3 e o que dá mínimo local é x = 5.

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