Faça um esboço do gráfico da função:
e encontre os valores de
que nos dão máximo e mínimo locais (raiz da derivada).
Passo 1
A função dada é
. O conteúdo da matéria é análise de funções polinomiais de grau 3 usando derivadas para encontrar extremos locais. Para resolver vamos precisar calcular a derivada primeira, achar suas raízes, usar a segunda derivada para classificar e, por fim, esboçar o formato geral do gráfico.
Passo 2
Calculamos a derivada primeira da função aplicando a regra do poder em cada termo. Assim obtemos:
Passo 3
Para encontrar os pontos críticos, resolvemos a equação
usando a fórmula de Bhaskara:
Passo 4
As soluções são
e
. Esses são os candidatos a máximo e mínimo locais.
Passo 5
Para classificar cada ponto, usamos a segunda derivada:
Passo 6
Avaliação: em
temos
, logo é máximo local; em
temos
, logo é mínimo local.
Passo 7
No esboço do gráfico destacamos: comportamento para
e
(porque é um cubo com coeficiente líder positivo), as raízes da função em
e
(sendo
raiz dupla), e marcamos o máximo local em
e o mínimo em
.
Resposta
Os valores de x que dão máximo local são x = -5/3 e o que dá mínimo local é x = 5.