Considere a função:
f(x)=cl x^2 ln (1+cos (1x)) & , se x neq 0 0 & , se x=0
Sabendo que 0<ln (1+cos (1x))<ln (2), calcule o lim x 0 f(x)

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)= x^2,lnl(1+cos(1/x)r),&xneq0, 0,&x=0,
e pede o limite limxto0f(x). Vamos usar o Teorema do Confronto (ou Squeeze Theorem), porque temos uma expressão x^2 que tende a zero e um logaritmo que está sempre entre dois valores fixos.

Passo 2

Observe que para todo xneq0 vale
-1<=cosl(1/xr)<=1 Longrightarrow 0<=1+cosl(1/xr)<=2
Como o logaritmo natural é crescente em (0,infty), temos
0<lnl(1+cos(1/x)r)<=ln(2)

Passo 3

Multiplicando essa desigualdade por x^2>=0, obtemos
0 ;<=; x^2,lnl(1+cos(1/x)r) ;<=; x^2,ln(2)

Passo 4

Sabemos que
limxto00 = 0 e limxto0x^2ln(2)=ln(2),limxto0x^2=0
Pelo Teorema do Confronto, segue que
limxto0x^2lnl(1+cos(1/x)r) = 0

Resposta

limxto0f(x)=0

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