Calcule
lim x a a^x-x^ax-a

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxto aa^x - x^ax - a
O conteúdo aqui é limite de indeterminação do tipo 0/0, e vamos usar a regra de L’Hospital, que exige diferenciabilidade de a^x e de x^a.

Passo 2

Verificamos o valor imediato ao substituir x=a:
a^a - a^a = 0 e x - a = 0,
logo temos a forma indeterminada 0/0.

Passo 3

Aplicando a regra de L’Hospital, derivamos numerador e denominador em relação a x.
A derivada de a^x é a^xln a, e a de x^a é a,x^a-1.
Assim o limite vira
limxto aa^xln a - a,x^a-11 =limxto al(a^xln a - a,x^a-1r)

Passo 4

Bastou agora avaliar em x=a:
a^aln a - a,a^a-1 = a^aln a - a^a = a^a(ln a - 1)

Resposta

a^a(ln a - 1)

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