Encontre o trabalho realizado por F=6 z i+y^2 j+12 x k sobre a curva r(t)=(cos t) i+(sin t) j+ (t / 6) k.

Passo 1

O enunciado pede o trabalho realizado pelo campo de forças
F(x,y,z)=6z,i+y^2,j+12x,k
sobre a curva parametrizada por
r(t)=(cos t),i+(sin t),j+l(t/6r),k,
para t variando de 0 a 2pi. Isto é um caso de integral de linha onde
W=integralCFcdot dr
e usaremos a parametrização r(t) para escrever
W=integral0^2piFl(r(t)r)cdot r'(t),dt

Passo 2

Calcular a derivada da parametrização:
r'(t)=ddtl(cos t,;sin t,;t/6r) =(-sin t,;cos t,;1/6)

Passo 3

Avaliar F ao longo da curva, substituindo x=cos t, y=sin t, z=t/6:
Fl(r(t)r) =6l(t/6r),i+(sin t)^2,j+12(cos t),k = t,i+sin^2t,j+12cos t,k

Passo 4

Fazer o produto escalar F(r(t))cdotr'(t):
F(r(t))cdotr'(t) = tcdot(-sin t)+sin^2tcdotcos t+12cos tcdot16 =-tsin t+sin^2tcos t+2cos t

Passo 5

Calcular a integral
W=integral0^2pil(-tsin t+sin^2tcos t+2cos tr),dt
Separando em três termos:
  1. integral0^2pi-tsin t,dt. Por partes, definindo u=-t, dv=sin t,dt, obtém-se integral -tsin t,dt =tcos t-sin t Longrightarrow l[tcos t-sin tr]0^2pi =2picdot1-0=2pi
  2. integral0^2pisin^2tcos t,dt. Fazendo u=sin t, du=cos t,dt, vem integral sin^2tcos t,dt =tfrac13sin^3t Longrightarrow l[tfrac13sin^3tr]0^2pi=0
  3. integral0^2pi2cos t,dt =2sin tl|0^2pi=0
Somando os três resultados dá
W=2pi+0+0=2pi

Resposta

O trabalho realizado é 2pi.

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