Considere uma função f(x) de classe pelo menos C^{3}(\mathbb{R}) e o polinômio p(x) que coincide com f(x) nos pontos x_{0}=0, x_{1}=\frac{1}{2} e x_{2}=1.
(a) Determine p(x) usando a forma de Lagrange, ou seja, escreva p(x) na forma
(b) Seja f(x)=\cos (x). Use o item anterior para determinar p(x).
(c) Encontre o erro máximo que se assume ao aproximar f(x)=\cos (x) por p(x), com x \in[0,1]. Use três casas decimais para aproximar os valores de cosseno e seno de 1 e de \frac{1}{2} (em radianos).
Passo 1
O enunciado dá:
Pontos de interpolação: \,x_0=0,\; x_1=\tfrac{1}{2},\; x_2=1.
Há uma função f com regularidade suficiente (C^3(\mathbb{R})) e o polinômio p(x) que coincide com f nesses três pontos.
O que o exercício pede:
(a) Escrever p(x) na forma de Lagrange
p(x)=\sum_{i=0}^{2} f\left(x_{i}\right)L_i(x),
ou seja, determinar explicitamente os polinômios base L_0,L_1,L_2 para os pontos dados.
(b) Tomando f(x)=\cos(x), aplicar (a) para obter o polinômio p(x) (expressão em termos de \cos(0),\cos(\tfrac{1}{2}),\cos(1) e também uma versão numérica usando aproximações).
(c) Estimar o erro máximo em [0,1] ao aproximar \cos x por p(x). O enunciado pede para usar aproximações com três casas decimais dos valores de \cos(1),\cos(\tfrac{1}{2}) e de \sin(1),\sin(\tfrac{1}{2}) quando necessário.
Passo 2
Lembrando a construção de Lagrange (a fórmula que vamos usar): para três nós x_0,x_1,x_2 os polinômios base são
Logo a aproximação numérica de p(x) (com as aproximações de \cos dadas) é
p(x)\approx -0{,}432\,x^2 -0{,}028\,x +1.
Passo 5
Agora (c): estimar o erro máximo em [0,1].
Teoria do resto de interpolação (fórmula de Taylor/Lagrange para o resto): para interpolação por polinômio de grau 2 nos pontos x_0,x_1,x_2 existe, para cada x, um \xi=\xi(x) no intervalo convexo que contém os nós tal que
Esses dois pontos estão em [0,1]: x_1=\dfrac{3-\sqrt{3}}{6}\approx 0{,}211324865 e x_2=\dfrac{3+\sqrt{3}}{6}\approx 0{,}788675135.
Avaliaremos g nesses pontos (outra forma é notar simetria e calcular simbolicamente). Calculando simbolicamente para x_1=\dfrac{3-\sqrt{3}}{6} (óptimo interior), obtém-se, após simplificação algébrica,