Considere uma função f(x) de classe pelo menos C^{3}(\mathbb{R}) e o polinômio p(x) que coincide com f(x) nos pontos x_{0}=0, x_{1}=\frac{1}{2} e x_{2}=1.
(a) Determine p(x) usando a forma de Lagrange, ou seja, escreva p(x) na forma
p(x)=\sum_{i=0}^{2} f\left(x_{i}\right) L_{i}(x) .
(b) Seja f(x)=\cos (x). Use o item anterior para determinar p(x).
(c) Encontre o erro máximo que se assume ao aproximar f(x)=\cos (x) por p(x), com x \in[0,1]. Use três casas decimais para aproximar os valores de cosseno e seno de 1 e de \frac{1}{2} (em radianos).

Passo 1

O enunciado dá:
  • Pontos de interpolação: \,x_0=0,\; x_1=\tfrac{1}{2},\; x_2=1.
  • Há uma função f com regularidade suficiente ( C^3(\mathbb{R})) e o polinômio p(x) que coincide com f nesses três pontos.
O que o exercício pede:
(a) Escrever p(x) na forma de Lagrange
p(x)=\sum_{i=0}^{2} f\left(x_{i}\right)L_i(x),
ou seja, determinar explicitamente os polinômios base L_0,L_1,L_2 para os pontos dados.
(b) Tomando f(x)=\cos(x), aplicar (a) para obter o polinômio p(x) (expressão em termos de \cos(0),\cos(\tfrac{1}{2}),\cos(1) e também uma versão numérica usando aproximações).
(c) Estimar o erro máximo em [0,1] ao aproximar \cos x por p(x). O enunciado pede para usar aproximações com três casas decimais dos valores de \cos(1),\cos(\tfrac{1}{2}) e de \sin(1),\sin(\tfrac{1}{2}) quando necessário.

Passo 2

Lembrando a construção de Lagrange (a fórmula que vamos usar): para três nós x_0,x_1,x_2 os polinômios base são
L_i(x)=\prod_{\substack{j=0\\\ j\ne i}}^{2}\frac{x-x_j}{x_i-x_j}, \qquad i=0,1,2.
Aqui só vamos calcular esses L_i(x) para os nós dados \,x_0=0,\;x_1=\tfrac{1}{2},\;x_2=1.
Calculemos L_0(x):
L_0(x)=\frac{(x-x_1)(x-x_2)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)} =\frac{(x-\tfrac{1}{2})(x-1)}{(0-\tfrac{1}{2})(0-1)}.
No denominador (0-\tfrac{1}{2})(0-1)=(-\tfrac{1}{2})(-1)=\tfrac{1}{2}. Logo
L_0(x)=\frac{(x-\tfrac{1}{2})(x-1)}{\tfrac{1}{2}}=2(x-\tfrac{1}{2})(x-1).
Calculemos L_1(x):
L_1(x)=\frac{(x-x_0)(x-x_2)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)} =\frac{x(x-1)}{(\tfrac{1}{2}-0)(\tfrac{1}{2}-1)} =\frac{x(x-1)}{(\tfrac{1}{2})(-\tfrac{1}{2})}=\frac{x(x-1)}{-\tfrac{1}{4}}=-4x(x-1).
Podemos reescrever L_1(x)=4x(1-x) (mesma forma, apenas sinal distribuído).
Calculemos L_2(x):
L_2(x)=\frac{(x-x_0)(x-x_1)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)} =\frac{x(x-\tfrac{1}{2})}{(1-0)(1-\tfrac{1}{2})} =\frac{x(x-\tfrac{1}{2})}{1\cdot\tfrac{1}{2}}=2x(x-\tfrac{1}{2}).

Passo 3

Expandindo os L_i(x) para escrever p(x) como um polinômio quadrático explícito:
Primeiro expandimos cada L_i(x).
Para L_0(x):
L_0(x)=2(x-\tfrac{1}{2})(x-1) =2\bigl(x^2-\tfrac{3}{2}x+\tfrac{1}{2}\bigr) =2x^2-3x+1.
Para L_1(x):
L_1(x)=-4x(x-1)=-4(x^2-x)=-4x^2+4x.
Para L_2(x):
L_2(x)=2x(x-\tfrac{1}{2})=2x^2-x.
Agora a forma de Lagrange geral com esses L_i é
p(x)=f(0)\,L_0(x)+f\!\bigl(\tfrac{1}{2}\bigr)\,L_1(x)+f(1)\,L_2(x).
Substituindo as expansões:
p(x)=f(0)\bigl(2x^2-3x+1\bigr)+f\!\bigl(\tfrac{1}{2}\bigr)\bigl(-4x^2+4x\bigr) +f(1)\bigl(2x^2-x\bigr).
Agrupando coeficientes em x^2,x,1 obtemos (passo a passo):
coeficiente de x^2:
2\cdot f(0) -4\cdot f\!\bigl(\tfrac{1}{2}\bigr)+2\cdot f(1).
coeficiente de x:
-3\cdot f(0) +4\cdot f\!\bigl(\tfrac{1}{2}\bigr) -1\cdot f(1).
termo constante:
1\cdot f(0).
Portanto, em forma polinomial
\boxed{\,p(x)=\bigl(2f(0)-4f(\tfrac{1}{2})+2f(1)\bigr)x^2+\bigl(-3f(0)+4f(\tfrac{1}{2})-f(1)\bigr)x+f(0)\, }.

Passo 4

Agora faça (b): f(x)=\cos x. Então f(0)=\cos 0=1,\; f(\tfrac{1}{2})=\cos(\tfrac{1}{2}),\; f(1)=\cos(1).
Substituindo na expressão do passo anterior:
p(x)=\bigl(2-4\cos(\tfrac{1}{2})+2\cos(1)\bigr)x^2+\bigl(-3+4\cos(\tfrac{1}{2})-\cos(1)\bigr)x+1.
Essa é a forma exata em termos de \cos(\tfrac{1}{2}) e \cos(1).
Se quisermos uma versão numérica prática (usando aproximações com três casas decimais conforme pedido em (c)), use
\cos\!\bigl(\tfrac{1}{2}\bigr)\approx 0{,}878,\qquad \cos(1)\approx 0{,}540.
Substituindo:
coeficiente de x^2:
2 -4\cdot 0{,}878 + 2\cdot 0{,}540 = 2 -3{,}512 +1{,}080 = -0{,}432.
coeficiente de x:
-3 +4\cdot 0{,}878 -0{,}540 = -3 +3{,}512 -0{,}540 = -0{,}028.
termo constante =1.
Logo a aproximação numérica de p(x) (com as aproximações de \cos dadas) é
p(x)\approx -0{,}432\,x^2 -0{,}028\,x +1.

Passo 5

Agora (c): estimar o erro máximo em [0,1].
Teoria do resto de interpolação (fórmula de Taylor/Lagrange para o resto): para interpolação por polinômio de grau 2 nos pontos x_0,x_1,x_2 existe, para cada x, um \xi=\xi(x) no intervalo convexo que contém os nós tal que
R_2(x)=f(x)-p(x)=\frac{f^{(3)}(\xi)}{3!}\,(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2).
Aqui, para f(x)=\cos x temos f^{(3)}(x)=\sin x. Como todos os nós e x estão em [0,1], o \xi associado satisfaz \xi\in[0,1]. Assim
R_2(x)=\frac{\sin(\xi)}{6}\;x\Bigl(x-\tfrac{1}{2}\Bigr)(x-1).
Tomando valor absoluto e usando |\sin(\xi)|\le \max_{t\in[0,1]}|\sin t|=\sin(1) (em radianos \sin é crescente em [0,1]), obtemos o limite
|R_2(x)|\le \frac{\sin(1)}{6}\,\bigl|x(x-\tfrac{1}{2})(x-1)\bigr|.
Vamos então maximizar a função cúbica
g(x):=x(x-\tfrac{1}{2})(x-1)=x^3-\tfrac{3}{2}x^2+\tfrac{1}{2}x \qquad\text{em }[0,1],
pois o máximo absoluto de g determina a maior magnitude possível do fator polinomial.
Calculemos g'(x)=3x^2-3x+\tfrac{1}{2}. As raízes de g'(x)=0 resolvem
3x^2-3x+\tfrac{1}{2}=0 \quad\Longrightarrow\quad 6x^2-6x+1=0,
cuja solução é
x=\frac{3\pm\sqrt{3}}{6}=\frac{3\pm\sqrt{3}}{6}.
Esses dois pontos estão em [0,1]: x_1=\dfrac{3-\sqrt{3}}{6}\approx 0{,}211324865 e x_2=\dfrac{3+\sqrt{3}}{6}\approx 0{,}788675135.
Avaliaremos g nesses pontos (outra forma é notar simetria e calcular simbolicamente). Calculando simbolicamente para x_1=\dfrac{3-\sqrt{3}}{6} (óptimo interior), obtém-se, após simplificação algébrica,
g\!\bigl(\tfrac{3-\sqrt{3}}{6}\bigr)=\frac{\sqrt{3}}{36}, \qquad g\!\bigl(\tfrac{3+\sqrt{3}}{6}\bigr)=-\frac{\sqrt{3}}{36}.
Portanto o máximo do valor absoluto de g em [0,1] é
\max_{x\in[0,1]}|g(x)|=\frac{\sqrt{3}}{36}.
Juntando tudo:
\max_{x\in[0,1]}|R_2(x)|\le \frac{\sin(1)}{6}\cdot\frac{\sqrt{3}}{36} =\frac{\sin(1)\,\sqrt{3}}{216}.
Agora usamos as aproximações com três casas decimais pedidas no enunciado:
\sin(1)\approx 0{,}841,\qquad \cos(1)\approx 0{,}540,\qquad \cos\!\bigl(\tfrac{1}{2}\bigr)\approx 0{,}878.
(essas aproximações foram usadas acima para a versão numérica do polinômio).
Com \sin(1)\approx 0{,}841 e \sqrt{3}\approx 1{,}732 calculamos numericamente o limite superior:
\frac{\sin(1)\,\sqrt{3}}{216}\approx \frac{0{,}841\cdot 1{,}732}{216}\approx 0{,}006742\\ (\text{aprox.}).
Logo o erro máximo (estimado pelo majorante padrão do resto de Lagrange) em [0,1] é aproximadamente 6{,}742\times 10^{-3}.

Resposta

(a) p(x)=f(0)\,L_0(x)+f\!\bigl(\tfrac{1}{2}\bigr)\,L_1(x)+f(1)\,L_2(x),
com
L_0(x)=2(x-\tfrac{1}{2})(x-1)=2x^2-3x+1, \quad L_1(x)=-4x(x-1)=-4x^2+4x, \quad L_2(x)=2x(x-\tfrac{1}{2})=2x^2-x.
(b) p(x)=\bigl(2-4\cos(\tfrac{1}{2})+2\cos(1)\bigr)x^2+\bigl(-3+4\cos(\tfrac{1}{2})-\cos(1)\bigr)x+1.
Usando \cos(\tfrac{1}{2})\approx 0{,}878,\\ \cos(1)\approx 0{,}540 temos
p(x)\approx -0{,}432\,x^2-0{,}028\,x+1.
(c) O resto satisfaz
|f(x)-p(x)|\le \frac{\sin(1)\,\sqrt{3}}{216}\approx 0{,}006742.

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