Considere a seguinte tabela da função f(x) que descreve a quantidade de pessoas que entram ou saem num elevador em cada piso x numa subida entre o piso -2 e o piso 2 :
x -2 -1 0 1 2
f(x) a 2 1 0 4
Determine o número de pessoas a que entram ou saem no piso -2 , de modo a que o polinômio interpolador de f(x) nos pontos da tabela dada seja de grau 3.

Passo 1

O enunciado dá a tabela com os pares (x,f(x)) e pede o valor de a de modo que o polinômio interpolador nos pontos seja de grau 3. Os dados fornecidos são:
  • x=-2, f(-2)=a.
  • x=-1, f(-1)=2.
  • x=0, f(0)=1.
  • x=1, f(1)=0.
  • x=2, f(2)=4.
A pergunta explícita: determinar o número a tal que o polinômio interpolador que passa por esses cinco pontos tenha grau 3.

Passo 2

Explicação didática do raciocínio que vamos usar (calma, vou mastigar tudo): para cinco pontos com abscissas distintas existe um único polinômio interpolador de grau no máximo 4. Para que esse polinômio seja de grau menor ou igual a 3 (ou seja, exatamente grau 3 ou menor), é necessário e suficiente que a diferença de ordem 4 dos valores seja zero.
Como as abscissas aqui são igualmente espaçadas ( -2,-1,0,1,2 com passo h=1), é muito simples trabalhar com diferenças finitas: defina a primeira diferença entre pontos consecutivos por
\Delta f(x_i)=f(x_{i+1})-f(x_i).
A segunda diferença é a diferença da primeira diferença, e assim por diante. Para um polinômio de grau 3 todas as diferenças de ordem 4 serão nulas. Portanto basta montar a tabela de diferenças e impor que a quarta diferença seja 0. Vou mostrar passo a passo como calcular essas diferenças.

Passo 3

Calcular as primeiras diferenças (vou numerar as entradas em ordem de x aumentando: índice 0 para x=-2, índice 1 para x=-1, etc.):
  • \Delta f_0 = f(-1)-f(-2) = 2 - a.
  • \Delta f_1 = f(0)-f(-1) = 1 - 2 = -1.
  • \Delta f_2 = f(1)-f(0) = 0 - 1 = -1.
  • \Delta f_3 = f(2)-f(1) = 4 - 0 = 4.
Vou repetir isso em sequência para ficar bem claro: a primeira diferença toma pares consecutivos da lista a,2,1,0,4.

Passo 4

Calcular as segundas diferenças (diferença entre primeiras diferenças):
  • \Delta^2 f_0 = \Delta f_1 - \Delta f_0 = -1 - (2-a) = -1 -2 + a = a - 3.
  • \Delta^2 f_1 = \Delta f_2 - \Delta f_1 = -1 - (-1) = 0.
  • \Delta^2 f_2 = \Delta f_3 - \Delta f_2 = 4 - (-1) = 5.
Expliquei: cada segunda diferença compara as primeiras diferenças adjacentes.

Passo 5

Calcular as terceiras diferenças (diferença entre segundas diferenças):
  • \Delta^3 f_0 = \Delta^2 f_1 - \Delta^2 f_0 = 0 - (a-3) = -a + 3.
  • \Delta^3 f_1 = \Delta^2 f_2 - \Delta^2 f_1 = 5 - 0 = 5.

Passo 6

Calcular a quarta diferença (diferença entre terceiras diferenças) e impor que seja zero para garantir grau \le 3:
A quarta diferença é
\Delta^4 f_0 = \Delta^3 f_1 - \Delta^3 f_0 = 5 - (-a+3) = 5 + a - 3 = a + 2.
Para que o polinômio interpolador seja de grau 3 (ou menor), precisamos de \Delta^4 f_0 = 0. Então:
a + 2 = 0.
Resolvendo,
a = -2.

Resposta

-2

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