Considere a seguinte tabela da função
que descreve a quantidade de pessoas que entram ou saem num elevador em cada piso
numa subida entre o piso -2 e o piso 2 :
-2
-1
0
1
2
2
1
0
4
Determine o número de pessoas
que entram ou saem no piso -2 , de modo a que o polinômio interpolador de
nos pontos da tabela dada seja de grau 3.
|
|
-2 | -1 | 0 | 1 | 2 |
|
|
|
2 | 1 | 0 | 4 |
Passo 1
O enunciado dá a tabela com os pares
e pede o valor de
de modo que o polinômio interpolador nos pontos seja de grau
. Os dados fornecidos são:
-
, . -
, . -
, . -
, . -
, .
A pergunta explícita: determinar o número
tal que o polinômio interpolador que passa por esses cinco pontos tenha grau
.
Passo 2
Explicação didática do raciocínio que vamos usar (calma, vou mastigar tudo): para cinco pontos com abscissas distintas existe um único polinômio interpolador de grau no máximo
. Para que esse polinômio seja de grau menor ou igual a
(ou seja, exatamente grau
ou menor), é necessário e suficiente que a diferença de ordem
dos valores seja zero.
Como as abscissas aqui são igualmente espaçadas (
com passo
), é muito simples trabalhar com diferenças finitas: defina a primeira diferença entre pontos consecutivos por
A segunda diferença é a diferença da primeira diferença, e assim por diante. Para um polinômio de grau
todas as diferenças de ordem
serão nulas. Portanto basta montar a tabela de diferenças e impor que a quarta diferença seja
. Vou mostrar passo a passo como calcular essas diferenças.
Passo 3
Calcular as primeiras diferenças (vou numerar as entradas em ordem de
aumentando: índice
para
, índice
para
, etc.):
Vou repetir isso em sequência para ficar bem claro: a primeira diferença toma pares consecutivos da lista
.
Passo 4
Calcular as segundas diferenças (diferença entre primeiras diferenças):
Expliquei: cada segunda diferença compara as primeiras diferenças adjacentes.
Passo 5
Calcular as terceiras diferenças (diferença entre segundas diferenças):
Passo 6
Calcular a quarta diferença (diferença entre terceiras diferenças) e impor que seja zero para garantir grau
:
A quarta diferença é
Para que o polinômio interpolador seja de grau
(ou menor), precisamos de
. Então:
Resolvendo,