Obtenha o polinômio interpolador usando a matriz de Vandermonde.
Passo 1
O enunciado dá quatro pares ordenados (x,f(x)) e pede o polinômio interpolador obtido usando a matriz de Vandermonde. Vou listar explicitamente o que temos e o que precisamos:
Pontos fornecidos:
x=-1,\; f(x)=1
x=0,\; f(x)=1
x=1,\; f(x)=1
x=2,\; f(x)=-5
O que se pede: encontrar o polinômio interpolador de grau no máximo 3 que passa por esses quatro pontos, usando a construção com a matriz de Vandermonde.
Passo 2
Definição do polinômio incógnita e das incógnitas que vamos determinar.
Vamos procurar um polinômio geral de grau até 3 da forma
p(x)=c_0 + c_1 x + c_2 x^2 + c_3 x^3,
onde c_0,c_1,c_2,c_3 são coeficientes desconhecidos que devemos achar.
Condição de interpolação: para cada ponto (x_i,y_i) vale p(x_i)=y_i. Isso gera um sistema linear de quatro equações lineares para os quatro coeficientes.
Passo 3
Montagem explícita do sistema usando a matriz de Vandermonde.
Para os pontos x_1=-1,\;x_2=0,\;x_3=1,\;x_4=2 a matriz de Vandermonde V (linhas correspondendo a cada ponto, colunas a potências x^0,x^1,x^2,x^3) é