Dados
x -1 0 1 2
f(x) 1 1 1 -5
Obtenha o polinômio interpolador usando a matriz de Vandermonde.

Passo 1

O enunciado dá quatro pares ordenados (x,f(x)) e pede o polinômio interpolador obtido usando a matriz de Vandermonde. Vou listar explicitamente o que temos e o que precisamos:
  • Pontos fornecidos:
    • x=-1,\; f(x)=1
    • x=0,\; f(x)=1
    • x=1,\; f(x)=1
    • x=2,\; f(x)=-5
  • O que se pede: encontrar o polinômio interpolador de grau no máximo 3 que passa por esses quatro pontos, usando a construção com a matriz de Vandermonde.

Passo 2

Definição do polinômio incógnita e das incógnitas que vamos determinar.
  • Vamos procurar um polinômio geral de grau até 3 da forma
p(x)=c_0 + c_1 x + c_2 x^2 + c_3 x^3,
onde c_0,c_1,c_2,c_3 são coeficientes desconhecidos que devemos achar.
  • Condição de interpolação: para cada ponto (x_i,y_i) vale p(x_i)=y_i. Isso gera um sistema linear de quatro equações lineares para os quatro coeficientes.

Passo 3

Montagem explícita do sistema usando a matriz de Vandermonde.
  • Para os pontos x_1=-1,\;x_2=0,\;x_3=1,\;x_4=2 a matriz de Vandermonde V (linhas correspondendo a cada ponto, colunas a potências x^0,x^1,x^2,x^3) é
V= \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 & -1\\[4pt] 1 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 1 & 1 & 1 & 1\\[4pt] 1 & 2 & 4 & 8 \end{pmatrix}.
  • O sistema linear é V\begin{pmatrix}c_0\c_1\c_2\c_3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 1\\\ -5\end{pmatrix}.
  • Escrevendo as equações linha a linha (cada uma obtida por p(x_i)=f(x_i)):
\begin{cases} c_0 - c_1 + c_2 - c_3 = 1,\\[4pt] c_0 = 1,\\[4pt] c_0 + c_1 + c_2 + c_3 = 1,\\[4pt] c_0 + 2c_1 + 4c_2 + 8c_3 = -5. \end{cases}]

Passo 4

Uso imediato de equações simples para reduzir o sistema (aproveitando a linha correspondente a x=0).
  • Da segunda equação temos diretamente
c_0=1.
  • Substituindo c_0=1 nas outras equações obtemos:
\begin{cases} 1 - c_1 + c_2 - c_3 = 1,\\[4pt] 1 + c_1 + c_2 + c_3 = 1,\\[4pt] 1 + 2c_1 + 4c_2 + 8c_3 = -5. \end{cases}
  • Simplificando as duas primeiras (subtraindo 1 dos dois lados):
\begin{cases} - c_1 + c_2 - c_3 = 0,\\[4pt] c_1 + c_2 + c_3 = 0. \end{cases}]

Passo 5

Resolver o sistema reduzido de três incógnitas c_1,c_2,c_3 (explicando cada passo).
  • Das duas equações lineares obtidas:
\begin{aligned} &-c_1 + c_2 - c_3 = 0\quad(1)\\[4pt] & c_1 + c_2 + c_3 = 0\quad(2) \end{aligned}
somamos as duas equações para eliminar c_1:
(-c_1+c_2-c_3)+(c_1+c_2+c_3)=0+0
o que dá
2c_2 = 0 \quad\Rightarrow\quad c_2=0.
  • Com c_2=0, a equação (2) vira
c_1 + 0 + c_3 = 0 \quad\Rightarrow\quad c_1 + c_3 = 0 \quad\Rightarrow\quad c_1 = -c_3.]

Passo 6

Usar a quarta equação (correspondente a x=2) para determinar c_3 e, em seguida, c_1.
  • A quarta equação, após substituir c_0=1, é
1 + 2c_1 + 4c_2 + 8c_3 = -5.
  • Substituindo c_2=0 e c_1=-c_3 obtemos
1 + 2(-c_3) + 4\cdot 0 + 8c_3 = -5.
  • Simplificando:
1 + (-2c_3) + 8c_3 = -5 \quad\Rightarrow\quad 1 + 6c_3 = -5.
  • Isolando c_3:
6c_3 = -6 \quad\Rightarrow\quad c_3 = -1.
  • Então c_1 = -c_3 = -(-1)=1.
  • Relembrando c_2=0 e c_0=1.

Passo 7

Escrever o polinômio final e verificar rapidamente nos pontos (para ganhar confiança).
  • Coeficientes encontrados:
c_0=1,\quad c_1=1,\quad c_2=0,\quad c_3=-1.
  • Logo o polinômio interpolador é
p(x)=1 + x + 0\cdot x^2 - x^3 = 1 + x - x^3.
  • Verificação rápida nos pontos:
    • Para x=0: p(0)=1+0-0=1 (bate).
    • Para x=1: p(1)=1+1-1=1 (bate).
    • Para x=-1: p(-1)=1+(-1)-(-1)^3=1-1+1=1 (bate).
    • Para x=2: p(2)=1+2-8= -5 (bate).

Resposta

p(x)=1+x-x^3

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