Sejam f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R} uma função de classe pelo menos C^{3}[0,1] e p(x) o polinômio que interpola f(x) nos pontos x_{0}=0, x_{1}=\frac{1}{2} e x_{2}=1. Considere o problema de aproximar o valor da integral \int_{0}^{1} f(x) d x pelo valor da integral \int_{0}^{1} p(x) d x.
(a) Calcule o valor de \int_{0}^{1} p(x) d x usando a fórmula obtida para p(x) no exercício anterior.
(b) Obtenha um limitante para o erro da aproximação, dado por
\left|\int_{0}^{1} f(x) d x-\int_{0}^{1} p(x) d x\right|
em termos de M_{3}=\left\|f^{\prime \prime \prime}\right\|_{\infty}.
(c) Estime o valor de \int_{0}^{1} e^{-x^{2}} d x e o erro cometido usando os itens anteriores.
Passo 1
O problema dá uma função f:[0,1]\to\mathbb{R} de classe pelo menos C^{3}[0,1] e pede para aproximar \displaystyle\int_{0}^{1} f(x)\,dx pela integral do polinômio p(x) que interpola f nos pontos x_{0}=0,\;x_{1}=\tfrac{1}{2},\;x_{2}=1. As perguntas são:
(a) Calcular \displaystyle\int_{0}^{1} p(x)\,dx usando a fórmula de p(x).
(b) Obter um limitante para o erro \displaystyle\left|\int_{0}^{1} f(x)\,dx-\int_{0}^{1} p(x)\,dx\right| em termos de M_{3}=\left\|f^{\prime\prime\prime}\right\|_{\infty}.
(c) Aplicar (a) e (b) para f(x)=e^{-x^{2}}: estimar \displaystyle\int_{0}^{1} e^{-x^{2}}dx e um limitante para o erro cometido.
Informações relevantes dadas:
Os nós de interpolação são 0,\tfrac{1}{2},1.
f é C^{3} em [0,1], logo a fórmula do resto de interpolação de grau 2 vale com derivada terceira.
Observação prática: essa fórmula é exatamente a regra de Simpson com passo h=\tfrac{1}{2}, peso 1/6,4/6,1/6.
Passo 4
Fórmula do resto da interpolação (explicada de forma didática)
Para um polinômio p que interpola f em três pontos distintos x_{0},x_{1},x_{2} e para cada x\in[0,1] existe \xi=\xi(x) entre o menor e o maior nó tal que
Agora calculamos a integral do valor absoluto. Note que o polinômio x(x-\tfrac{1}{2})(x-1) tem raízes em 0,\tfrac{1}{2},1 e muda de sinal em \tfrac{1}{2}. Assim separamos:
Comentário prático para prova: é útil decorar a expressão de \int p (regra de Simpson) e o fator 1/192 que aparece no limite de erro quando se usa nós 0,\tfrac{1}{2},1 para interpolação quadrática.
Passo 6
Aplicação ao caso f(x)=e^{-x^{2}}.
Primeiro a aproximação pela regra de Simpson (resultado do Passo 3):
Comentário final: a aproximação numérica que encontramos foi \approx 0,7471804288 e o limite teórico de erro é aproximadamente 0,02034. Para comparação, o valor real é