Considere a função complexa f(z)=\sqrt{|x y|}, onde z=(x, y). Verifique que as equações de Cauchy-Riemann são satisfeitas no ponto (0,0) mas, no entanto, f não é holomorfa neste ponto.

Passo 1

O enunciado dá a função real (valor real) definida em termos das coordenadas reais x,y de z:
f(z)=\sqrt{|x y|},
onde z=(x,y). O que a questão pede é:
  • Verificar que as equações de Cauchy-Riemann são satisfeitas no ponto (0,0).
  • Mostrar que, apesar disso, f não é holomorfa (isto é, não é complexamente diferenciável) em (0,0).
Informações relevantes fornecidas:
u(x,y)=\sqrt{|x y|},\qquad v(x,y)=0,
pois f=u+iv e f é uma função real (parte imaginária zero).
Não há outras imagens ou tabelas; toda informação necessária está no próprio enunciado.

Passo 2

Primeiro vamos lembrar o que são as equações de Cauchy–Riemann (CR) para uma função f=u+iv. As CR em coordenadas (x,y) exigem:
u_x = v_y \quad\text{e}\quad u_y = -v_x,
onde u_x significa a derivada parcial de u em relação a x e u_y é a derivada parcial de u em relação a y. Aqui v é a parte imaginária e u a parte real da função.
No nosso caso temos v\equiv 0. Portanto v_x\equiv 0 e v_y\equiv 0. As equações CR no ponto (0,0) ficam então:
u_x(0,0)=0 \quad\text{e}\quad u_y(0,0)=0.
Para verificar isso temos que calcular as derivadas parciais de u em (0,0) pela definição (limite incremental).

Passo 3

Cálculo das derivadas parciais de u em (0,0) pela definição:
u_x(0,0)=\lim_{h\to 0}\frac{u(h,0)-u(0,0)}{h}.
Como u(x,y)=\sqrt{|xy|} e u(0,0)=0, para y=0 temos u(h,0)=\sqrt{|h\cdot 0|}=0. Logo
u_x(0,0)=\lim_{h\to 0}\frac{0-0}{h}=0.
De modo análogo,
u_y(0,0)=\lim_{h\to 0}\frac{u(0,h)-u(0,0)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{0-0}{h}=0,
pois u(0,h)=\sqrt{|0\cdot h|}=0. Portanto ambas as derivadas parciais existem e valem zero em (0,0).

Passo 4

Como v_x(0,0)=v_y(0,0)=0 (já que v\equiv 0) e u_x(0,0)=u_y(0,0)=0, as equações de Cauchy–Riemann são satisfeitas no ponto (0,0):
u_x(0,0)=v_y(0,0)=0,\qquad u_y(0,0)=-v_x(0,0)=0.
Agora um comentário teórico importante: satisfazer as equações de Cauchy–Riemann num ponto é uma condição necessária para a diferenciabilidade complexa naquele ponto, mas não é suficiente, a menos que as derivadas parciais sejam também contínuas numa vizinhança do ponto. Aqui vamos mostrar que f não é diferenciável complexamente em (0,0) mesmo com as CR válidas, porque o limite que define a derivada complexa depende da direção de aproximação.

Passo 5

Definição de diferenciabilidade complexa em 0: f é complexamente diferenciável em 0 se existe \ell\in\mathbb{C} tal que
\lim_{z\to 0}\frac{f(z)-f(0)-\ell z}{|z|}=0.
Equivalente (e mais simples para testar aqui) é verificar se o limite
\lim_{z\to 0}\frac{f(z)-f(0)}{z}=\lim_{z\to 0}\frac{f(z)}{z}
existe e é independente da direção de aproximação.
Vamos calcular esse quociente em duas direções distintas.
  1. Aproximação pela reta real ( y=0). Para z=t\in\mathbb{R} temos f(t)=\sqrt{|t\cdot 0|}=0. Então, para t\neq 0,
\frac{f(t)}{t}=0.
Logo o limite ao longo do eixo real é 0.
  1. Aproximação pela reta y=x. Para z=t(1+i) (ou seja x=t,\;y=t) temos xy=t^2 e, portanto,
f(z)=\sqrt{|x y|}=\sqrt{|t^2|}=|t|.
Então, para t\neq 0,
\frac{f(z)}{z}=\frac{|t|}{t(1+i)}=\frac{|t|}{t}\cdot\frac{1}{1+i}.
Se aproximarmos 0 por valores positivos de t (isto é t\to 0^+) obtemos
\lim_{t\to 0^+}\frac{f(t(1+i))}{t(1+i)}=\frac{1}{1+i}\neq 0,
enquanto pela reta real o limite foi 0. Como os limites ao longo direções diferentes são distintos, o limite global não existe. Logo f não é complexamente diferenciável em 0 (portanto não é holomorfa em (0,0)).

Passo 6

Comentário final didático e intuitivo: nós vimos que as derivadas parciais em (0,0) existem e são ambas zero, logo as equações de Cauchy–Riemann são satisfeitas naquele ponto. Contudo, a derivada complexa exige uma condição mais forte: o quociente \dfrac{f(z)}{z} deve tender a um mesmo valor independente da direção de z\to 0. No nosso caso ele depende da direção (e.g. 0 ao longo do eixo real, 1/(1+i) ao longo da reta y=x), então não existe derivada complexa em 0. Uma maneira de ver por que isso é possível é observar que as derivadas parciais de u não são contínuas em (0,0): por exemplo, em pontos (a,a) com a>0 tem-se, usando u(x,y)=\sqrt{xy} quando xy>0,
u_x(a,a)=\frac{1}{2},
mas u_x(0,0)=0; assim u_x não é contínua em (0,0). Isso impede usar o teorema que garante que CR + continuidade das derivadas implica holomorfia.

Resposta

As equações de Cauchy–Riemann são satisfeitas em (0,0) porque u_x(0,0)=u_y(0,0)=0 e v_x=v_y=0.
No entanto f não é holomorfa (não é complexamente diferenciável) em (0,0), pois o quociente \dfrac{f(z)}{z} tem limites diferentes ao aproximar 0 por direções distintas (por exemplo 0 ao longo do eixo real e \dfrac{1}{1+i} ao longo de y=x).

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