Considere a função complexa
, onde
. Verifique que as equações de Cauchy-Riemann são satisfeitas no ponto
mas, no entanto,
não é holomorfa neste ponto.
Passo 1
O enunciado dá a função real (valor real) definida em termos das coordenadas reais
de
:
onde
. O que a questão pede é:
- Verificar que as equações de Cauchy-Riemann são satisfeitas no ponto
. - Mostrar que, apesar disso,
não é holomorfa (isto é, não é complexamente diferenciável) em .
Informações relevantes fornecidas:
pois
e
é uma função real (parte imaginária zero).
Não há outras imagens ou tabelas; toda informação necessária está no próprio enunciado.
Não há outras imagens ou tabelas; toda informação necessária está no próprio enunciado.
Passo 2
Primeiro vamos lembrar o que são as equações de Cauchy–Riemann (CR) para uma função
. As CR em coordenadas
exigem:
onde
significa a derivada parcial de
em relação a
e
é a derivada parcial de
em relação a
. Aqui
é a parte imaginária e
a parte real da função.
No nosso caso temos
. Portanto
e
. As equações CR no ponto
ficam então:
Para verificar isso temos que calcular as derivadas parciais de
em
pela definição (limite incremental).
Passo 3
Cálculo das derivadas parciais de
em
pela definição:
Como
e
, para
temos
. Logo
De modo análogo,
pois
. Portanto ambas as derivadas parciais existem e valem zero em
.
Passo 4
Como
(já que
) e
, as equações de Cauchy–Riemann são satisfeitas no ponto
:
Agora um comentário teórico importante: satisfazer as equações de Cauchy–Riemann num ponto é uma condição necessária para a diferenciabilidade complexa naquele ponto, mas não é suficiente, a menos que as derivadas parciais sejam também contínuas numa vizinhança do ponto. Aqui vamos mostrar que
não é diferenciável complexamente em
mesmo com as CR válidas, porque o limite que define a derivada complexa depende da direção de aproximação.
Passo 5
Definição de diferenciabilidade complexa em
:
é complexamente diferenciável em
se existe
tal que
Equivalente (e mais simples para testar aqui) é verificar se o limite
existe e é independente da direção de aproximação.
Vamos calcular esse quociente em duas direções distintas.
- Aproximação pela reta real (
). Para temos . Então, para ,
Logo o limite ao longo do eixo real é
.
- Aproximação pela reta
. Para (ou seja ) temos e, portanto,
Então, para
,
Se aproximarmos
por valores positivos de
(isto é
) obtemos
enquanto pela reta real o limite foi
. Como os limites ao longo direções diferentes são distintos, o limite global não existe. Logo
não é complexamente diferenciável em
(portanto não é holomorfa em
).
Passo 6
Comentário final didático e intuitivo: nós vimos que as derivadas parciais em
existem e são ambas zero, logo as equações de Cauchy–Riemann são satisfeitas naquele ponto. Contudo, a derivada complexa exige uma condição mais forte: o quociente
deve tender a um mesmo valor independente da direção de
. No nosso caso ele depende da direção (e.g. 0 ao longo do eixo real,
ao longo da reta
), então não existe derivada complexa em
. Uma maneira de ver por que isso é possível é observar que as derivadas parciais de
não são contínuas em
: por exemplo, em pontos
com
tem-se, usando
quando
,
mas
; assim
não é contínua em
. Isso impede usar o teorema que garante que CR + continuidade das derivadas implica holomorfia.
Resposta
As equações de Cauchy–Riemann são satisfeitas em
porque
e
.
No entanto não é holomorfa (não é complexamente diferenciável) em
, pois o quociente
tem limites diferentes ao aproximar
por direções distintas (por exemplo
ao longo do eixo real e
ao longo de
).
No entanto