Obtenha as equações de Cauchy-Riemann em coordenadas polares. Mais precisamente, sendo
uma função holomorfa, considere sua representação polar
e
. Mostre que
Passo 1
O enunciado pede que, dada uma função holomorfa
(onde
e
são as partes real e imaginária em coordenadas cartesianas), e definidas as funções em coordenadas polares
mostremos as igualdades
Informações dadas relevantes:
e que
e
satisfazem as equações de Cauchy–Riemann em coordenadas cartesianas (que usaremos mais adiante).
Passo 2
Ideia do método (explicação didática): vamos aplicar a regra da cadeia para derivadas parciais. Se temos
, a regra da cadeia diz que
onde
e
são as derivadas parciais de
em relação a
e
. Aqui explico os símbolos:
é a derivada parcial de
em relação a
mantendo
fixo;
é derivada de
em relação a
mantendo
fixo. A mesma regra vale para
em termos de
e
.
Passo 3
Calculemos as derivadas parciais de
e
em relação a
e
. Como
, obtemos:
Passo 4
Aplicando a regra da cadeia para
:
Aqui eu substituí explicitamente
pelas expressões do passo anterior.
Passo 5
De forma análoga, para
(lembrando que
):
Passo 6
Agora introduzimos as equações de Cauchy–Riemann em coordenadas cartesianas (essas são válidas porque
é holomorfa). Elas são:
Vou usar essas igualdades para eliminar
ou
conforme necessário.
Passo 7
Usando as Cauchy–Riemann em
:
começamos de
começamos de
Substituímos
e
(obtidos de
e
):
Reorganizando a soma obtemos
Mas do Passo 4 sabemos que
. Portanto
que é a primeira igualdade pedida.
Passo 8
Agora derivada de
em
: partimos de
Substituímos
e
:
Factorizando um sinal negativo e reorganizando:
Do Passo 5 sabemos que
. Assim
que é a segunda igualdade pedida.
Passo 9
Resumo e comentário final curto: usando apenas a regra da cadeia e as equações de Cauchy–Riemann em coordenadas cartesianas chegamos às relações buscadas em coordenadas polares. Esse método é direto e elementar — não exige fórmulas complexas adicionais — e é o jeito mais simples de obter as equações de Cauchy–Riemann em polares numa prova.