Obtenha as equações de Cauchy-Riemann em coordenadas polares. Mais precisamente, sendo f=(u, v) uma função holomorfa, considere sua representação polar u(r \cos \theta, r \sin \theta))=U(r, \theta) e v(r \cos \theta, r \sin \theta))=V(r, \theta). Mostre que
\frac{\partial V}{\partial \theta}=r \frac{\partial U}{\partial r}, \quad \frac{\partial U}{\partial \theta}=-r \frac{\partial V}{\partial r} .

Passo 1

O enunciado pede que, dada uma função holomorfa f=(u,v) (onde u e v são as partes real e imaginária em coordenadas cartesianas), e definidas as funções em coordenadas polares
U(r,\theta)=u(r\cos\theta,r\sin\theta),\qquad V(r,\theta)=v(r\cos\theta,r\sin\theta),
mostremos as igualdades
\frac{\partial V}{\partial \theta}=r\frac{\partial U}{\partial r}, \qquad \frac{\partial U}{\partial \theta}=-r\frac{\partial V}{\partial r}.
Informações dadas relevantes:
x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,
e que u e v satisfazem as equações de Cauchy–Riemann em coordenadas cartesianas (que usaremos mais adiante).

Passo 2

Ideia do método (explicação didática): vamos aplicar a regra da cadeia para derivadas parciais. Se temos U(r,\theta)=u(x(r,\theta),y(r,\theta)), a regra da cadeia diz que
\frac{\partial U}{\partial r}=u_x\frac{\partial x}{\partial r}+u_y\frac{\partial y}{\partial r}, \qquad \frac{\partial U}{\partial \theta}=u_x\frac{\partial x}{\partial \theta}+u_y\frac{\partial y}{\partial \theta},
onde u_x e u_y são as derivadas parciais de u em relação a x e y. Aqui explico os símbolos: \frac{\partial U}{\partial r} é a derivada parcial de U em relação a r mantendo \theta fixo; \frac{\partial x}{\partial r} é derivada de x(r,\theta) em relação a r mantendo \theta fixo. A mesma regra vale para V em termos de v_x e v_y.

Passo 3

Calculemos as derivadas parciais de x e y em relação a r e \theta. Como \;x=r\cos\theta,\;y=r\sin\theta\;, obtemos:
\frac{\partial x}{\partial r}=\cos\theta,\qquad \frac{\partial y}{\partial r}=\sin\theta,
\frac{\partial x}{\partial \theta}=-r\sin\theta,\qquad \frac{\partial y}{\partial \theta}=r\cos\theta.

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia para U:
\frac{\partial U}{\partial r}=u_x\cos\theta+u_y\sin\theta,
\frac{\partial U}{\partial \theta}=u_x(-r\sin\theta)+u_y(r\cos\theta)=r\bigl(-u_x\sin\theta+u_y\cos\theta\bigr).
Aqui eu substituí explicitamente \partial x/\partial r,\;\partial y/\partial r,\;\partial x/\partial\theta,\;\partial y/\partial\theta pelas expressões do passo anterior.

Passo 5

De forma análoga, para V (lembrando que V(r,\theta)=v(x,y)):
\frac{\partial V}{\partial r}=v_x\cos\theta+v_y\sin\theta,
\frac{\partial V}{\partial \theta}=v_x(-r\sin\theta)+v_y(r\cos\theta)=r\bigl(-v_x\sin\theta+v_y\cos\theta\bigr).

Passo 6

Agora introduzimos as equações de Cauchy–Riemann em coordenadas cartesianas (essas são válidas porque f é holomorfa). Elas são:
u_x=v_y,\qquad u_y=-v_x.
Vou usar essas igualdades para eliminar v_x,v_y ou u_x,u_y conforme necessário.

Passo 7

Usando as Cauchy–Riemann em \frac{\partial V}{\partial \theta}:
começamos de
\frac{\partial V}{\partial \theta}=r\bigl(-v_x\sin\theta+v_y\cos\theta\bigr).
Substituímos v_x=-u_y e v_y=u_x (obtidos de u_y=-v_x e u_x=v_y):
\frac{\partial V}{\partial \theta}=r\bigl(-(-u_y)\sin\theta+u_x\cos\theta\bigr)=r\bigl(u_y\sin\theta+u_x\cos\theta\bigr).
Reorganizando a soma obtemos
\frac{\partial V}{\partial \theta}=r\bigl(u_x\cos\theta+u_y\sin\theta\bigr).
Mas do Passo 4 sabemos que \;u_x\cos\theta+u_y\sin\theta=\dfrac{\partial U}{\partial r}\;. Portanto
\frac{\partial V}{\partial \theta}=r\frac{\partial U}{\partial r},
que é a primeira igualdade pedida.

Passo 8

Agora derivada de U em \theta: partimos de
\frac{\partial U}{\partial \theta}=r\bigl(-u_x\sin\theta+u_y\cos\theta\bigr).
Substituímos u_x=v_y e u_y=-v_x:
\frac{\partial U}{\partial \theta}=r\bigl(-v_y\sin\theta+(-v_x)\cos\theta\bigr) = r\bigl(-v_y\sin\theta - v_x\cos\theta\bigr).
Factorizando um sinal negativo e reorganizando:
\frac{\partial U}{\partial \theta}=-r\bigl(v_x\cos\theta+v_y\sin\theta\bigr).
Do Passo 5 sabemos que v_x\cos\theta+v_y\sin\theta=\dfrac{\partial V}{\partial r}. Assim
\frac{\partial U}{\partial \theta}=-r\frac{\partial V}{\partial r},
que é a segunda igualdade pedida.

Passo 9

Resumo e comentário final curto: usando apenas a regra da cadeia e as equações de Cauchy–Riemann em coordenadas cartesianas chegamos às relações buscadas em coordenadas polares. Esse método é direto e elementar — não exige fórmulas complexas adicionais — e é o jeito mais simples de obter as equações de Cauchy–Riemann em polares numa prova.

Resposta

\frac{\partial V}{\partial \theta}=r\frac{\partial U}{\partial r}
\frac{\partial U}{\partial \theta}=-r\frac{\partial V}{\partial r}

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