As equações de Cauchy-Riemann estabelecem fortes restrições de interligação das partes real e imaginária de funções complexas holomorfas. Além disso, estas equações também estabelecem restrições às próprias partes real e imaginária. Seja
uma função complexa holomorfa em uma região
cuja parte real é dada por
. Caracterize completamente esta função.
Passo 1
O enunciado dá a parte real
de uma função complexa holomorfa
definida numa região
. Em forma explícita temos:
O que o problema pede: caracterizar completamente
, isto é, encontrar todas as funções holomorfas
em
cuja parte real é exatamente essa
.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
Não há nenhuma outra informação extra, portanto devemos usar as relações que ligam
e
para determinar
(até constantes) e, se possível, escrever
numa forma explícita em termos de
.
Passo 2
Lembrete das equações de Cauchy–Riemann (CR): se
é holomorfa então as derivadas parciais existem e satisfazem
Vou calcular primeiro as derivadas parciais de
. Derivando
temos:
Expliquei:
é a derivada de
em relação a
mantendo
fixo;
é a derivada em relação a
.
Passo 3
Usando a primeira equação de CR
, obtemos uma equação para
:
Para encontrar
integro essa igualdade em relação a
(tratando
como constante). A integral de
em
é
onde
é uma função arbitrária de
(constante de integração em relação a
). Aqui expliquei o porquê: integrar em
determina
salvo uma “constante” que pode depender de
.
Passo 4
Agora usamos a segunda equação de CR
. Primeiro calcule
a partir da expressão obtida:
então
A equação de CR diz
. Já tínhamos
, então
Igualando as duas expressões para
obtemos
Daí fica claro que os termos em
se cancelam e sobra uma equação para
:
Passo 5
Integro
em
. A integral é
onde
é uma constante real (constante absoluta de integração). Portanto a função
fica totalmente determinada:
Passo 6
Agora escrevo
com as partes encontradas. Substituindo
e
,
Note que o termo
aparece multiplicado por
, ou seja, contribui apenas para a parte imaginária como uma constante pura imaginária. Isso está de acordo com o fato geral: se a parte real de uma função holomorfa está fixada, a parte imaginária só é determinável até uma constante real (porque
não muda a parte real).
Passo 7
Podemos também escrever
de forma compacta em termos da variável complexa
. Uma forma direta é obter
(derivada complexa) pela fórmula
Usando
e
temos
É útil reescrever isso em termos de
. Substituindo
e
e simplificando (ou reconhecendo a combinação), obtemos a expressão simples
Como
é holomorfa, podemos integrar em
:
onde
é uma constante complexa. Para que a parte real de
coincida exatamente com a dada
(sem uma constante real extra), devemos ter
, ou seja
com
. Isso é consistente com o
que apareceu antes.
Passo 8
Conclusão: todas as funções holomorfas
definidas em
cuja parte real é
são exatamente
Isto descreve completamente a família: um polinômio quadrático em
com coeficiente
, mais uma constante puramente imaginária.