As equações de Cauchy-Riemann estabelecem fortes restrições de interligação das partes real e imaginária de funções complexas holomorfas. Além disso, estas equações também estabelecem restrições às próprias partes real e imaginária. Seja f=(u, v) uma função complexa holomorfa em uma região \Omega \in C cuja parte real é dada por u(x+i y)=x^{2}-x y-y^{2}. Caracterize completamente esta função.

Passo 1

O enunciado dá a parte real u de uma função complexa holomorfa f=(u,v) definida numa região \Omega. Em forma explícita temos:
u(x+ i y)=x^{2}-x y-y^{2}.
O que o problema pede: caracterizar completamente f, isto é, encontrar todas as funções holomorfas f em \Omega cuja parte real é exatamente essa u.
Informações relevantes fornecidas:
u(x,y)=x^{2}-x y-y^{2}.
Não há nenhuma outra informação extra, portanto devemos usar as relações que ligam u e v para determinar v (até constantes) e, se possível, escrever f numa forma explícita em termos de z.

Passo 2

Lembrete das equações de Cauchy–Riemann (CR): se f=u+iv é holomorfa então as derivadas parciais existem e satisfazem
u_x = v_y,\qquad u_y = -v_x.
Vou calcular primeiro as derivadas parciais de u. Derivando u(x,y)=x^{2}-x y-y^{2} temos:
u_x = \frac{\partial}{\partial x}(x^{2}-x y-y^{2})=2x - y,
u_y = \frac{\partial}{\partial y}(x^{2}-x y-y^{2})=-x - 2y.
Expliquei: u_x é a derivada de u em relação a x mantendo y fixo; u_y é a derivada em relação a y.

Passo 3

Usando a primeira equação de CR u_x=v_y, obtemos uma equação para v:
v_y(x,y)=2x-y.
Para encontrar v integro essa igualdade em relação a y (tratando x como constante). A integral de 2x-y em y é
v(x,y)=\int(2x-y)\,dy = 2x y - \frac{y^{2}}{2} + \varphi(x),
onde \varphi(x) é uma função arbitrária de x (constante de integração em relação a y). Aqui expliquei o porquê: integrar em y determina v salvo uma “constante” que pode depender de x.

Passo 4

Agora usamos a segunda equação de CR u_y = -v_x. Primeiro calcule v_x a partir da expressão obtida:
v(x,y)=2x y - \frac{y^{2}}{2} + \varphi(x)
então
v_x(x,y)=2y + \varphi'(x).
A equação de CR diz v_x = -u_y. Já tínhamos u_y=-x-2y, então
v_x = -u_y = -(-x-2y)=x+2y.
Igualando as duas expressões para v_x obtemos
2y + \varphi'(x) = x + 2y.
Daí fica claro que os termos em y se cancelam e sobra uma equação para \varphi'(x):
\varphi'(x)=x.

Passo 5

Integro \varphi'(x)=x em x. A integral é
\varphi(x)=\frac{x^{2}}{2}+C,
onde C é uma constante real (constante absoluta de integração). Portanto a função v fica totalmente determinada:
v(x,y)=2x y - \frac{y^{2}}{2} + \frac{x^{2}}{2} + C.

Passo 6

Agora escrevo f=u+iv com as partes encontradas. Substituindo u e v,
f(x,y)=u+iv = \bigl(x^{2}-x y-y^{2}\bigr) + i\!\left(2x y - \frac{y^{2}}{2} + \frac{x^{2}}{2} + C\right).
Note que o termo C aparece multiplicado por i, ou seja, contribui apenas para a parte imaginária como uma constante pura imaginária. Isso está de acordo com o fato geral: se a parte real de uma função holomorfa está fixada, a parte imaginária só é determinável até uma constante real (porque f\mapsto f+i\alpha não muda a parte real).

Passo 7

Podemos também escrever f de forma compacta em termos da variável complexa \,z=x+iy. Uma forma direta é obter f' (derivada complexa) pela fórmula
f'(z)=u_x + i v_x.
Usando u_x=2x-y e v_x=x+2y temos
f'(z)=(2x-y) + i(x+2y).
É útil reescrever isso em termos de z. Substituindo x=\frac{z+\overline{z}}{2} e y=\frac{z-\overline{z}}{2i} e simplificando (ou reconhecendo a combinação), obtemos a expressão simples
f'(z)=(2+i)\,z.
Como f é holomorfa, podemos integrar em z:
f(z)=\int (2+i)z\,dz = \frac{2+i}{2}\,z^{2} + \widetilde{C},
onde \widetilde{C} é uma constante complexa. Para que a parte real de f coincida exatamente com a dada u (sem uma constante real extra), devemos ter \operatorname{Re}(\widetilde{C})=0, ou seja \widetilde{C}=iC com C\in\mathbb{R}. Isso é consistente com o C que apareceu antes.

Passo 8

Conclusão: todas as funções holomorfas f definidas em \Omega cuja parte real é u(x,y)=x^{2}-x y-y^{2} são exatamente
f(z)=\frac{2+i}{2}\,z^{2} + iC,\qquad C\in\mathbb{R}.
Isto descreve completamente a família: um polinômio quadrático em z com coeficiente \frac{2+i}{2}, mais uma constante puramente imaginária.

Resposta

\displaystyle f(z)=\frac{2+i}{2}\,z^{2}+iC,\quad C\in\mathbb{R}

Exercícios relacionados